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　极限与连续 §１　数列的极限与无穷大量 引 言 为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势。例如有这么一个变量，它开始是１，然后为如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零。我们就说，这个变量的极限为０。所以，我们有必要对极限作深入研究。 一 数列极限的定义 １ 数列的定义 定义：若函数的定义域为全体正整数集合，则称为数列。 注：记，则数列就可写作为：，简记为。 ２ 数列的例子 （1）；（2）（3） 2、什么是数列极限 １．引言 容易看出，数列的通项随着的无限增大而无限地接近于零。 一般地说，对于数列，若当无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限。不具有这种特性的数列就称为发散数列。 据此可以说，数列是收敛数列，０是它的极限。 数列都是发散的数列。 需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。 以为例，可观察出该数列具以下特性： 随着n的无限增大，无限地接近于1随着n的无限增大，与１的距离无限减少随着n的无限增大，无限减少会任意小，只要n充分大。 如：要使，只要即可； 　　要使，只要即可； 任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项，从该项之后，。即，当时，。 如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：，取即可。这样当时，。 综上所述，数列的通项随的无限增大，无限接近于１，即是对任意给定正数，总存在正整数Ｎ，当时，有。此即以１为极限的精确定义，记作或。 2.数列极限的定义 定义1 设为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有, 则称数列收敛于a, a称为数列的极限, 并记作或. 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。 [问题]：如何表述没有极限？ ３。举例说明如何用定义来验证数列极限 　　例：　证明. 例：　证明. 例：证明　. 例：证明　. 例：证明　，其中. ４ 关于数列的极限的定义的几点说明 关于：① 的任意性；②的暂时固定性；③的多值性；④正由于是任意小正数，我们可以限定小于一个确定的正数。 关于Ｎ：① 相应性；②Ｎ多值性。 数列极限的几何理解： “当时有” 所有下标大于Ｎ的项都落在邻域内；而在之外，数列中的项至多只有Ｎ个（有限个）。 数列极限的等价定义（邻域定义）： 　　定义 任给，若在之外数列中的项只有有限个，则称数列收敛于极限a. 由此可见：数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响。 例：证明都是发散数列。 二 无穷小数列 在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义２　　若，则称为无穷小数列。 如都是无穷小数列。 数列收敛于a的充要条件： 定理１　数列收敛于的充要条件是为无穷小数列。 三 收敛数列的性质 性质1（保不等式性）设数列与均收敛，若存在正数，使得当时有，则。 性质2（保号性）　若（或），则对任何（或），存在正数Ｎ，使得当时有（或）。 性质3（极限唯一性）　若数列收敛，则它只有一个极限。 性质4（迫敛性）　设收敛数列、都以a为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且. 注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。 例：　求数列的极限。 性质5（有界性）若数列收敛，则为有界数列。 注：数列收敛则必有界，反之未必。例如数列有界，但它不收敛。 四 数列极限的运算 性质６（极限的四则运算法则）　若、为收敛数列，则也都收敛，且有 ; . 若再做假设及，则数列也收敛，且有 . 在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。 例：　求，其中. 例：　求。 五 单调有界数列 在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。下面将重点讨论极限的存在性问题。 定义　若数列的各项满足不等式，则称为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列． 例如：为递减数列；为递增数列。 定理（单调有界定理）　在实数系中，有界且单调数列必有极限。 例：设其中，证明数列收敛。 例：证明下列数列收敛，并求其极限： 例：证明存在。 六 无穷大量的定义 定义：设是一个数列。若当时必有，则称是无穷大量。 几何解析： 例：证明是无穷大量。 定义：设是一个数列。若当时必有，则称是正无穷大量。 定义：设是一个数列。若当时必有，则称是负无穷大量。 七 无穷大量的性质和运算 无穷大