概论与初等模型-数学建模讲义.ppt

数学建模讲义 二、初等模型 例1 哥尼斯堡七桥问题 符号表示?“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题?图论(创始人欧拉) 完美的回答?连通图中至多两结点的度数为奇数，则该图可一笔画. 示例3 椅子能在不平的地面上放稳吗? 1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形; 2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况)，即地面可视为数学上的连续曲面; 3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。 简例 棋子颜色的变化问题 任意取黑白两种颜色的棋子8个，排成一个圆圈，然后在两颗同色棋子间放一个白棋子，异色棋子间放一个黑棋子，拿去原来的棋子。多次重复该过程后，棋子颜色会如何变化？ (数目不是8而是任意自然数n时如何?) 找关键量.... 1、某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟，问他步行了多长时间？ 找关键量.... 2、两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4千米/小时和2千米/小时的速度步行回家，一小狗以6千米/小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多少路程？ 模型构成 由假设1，f和g都是连续函数 由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t ，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0, f(t)0, 原题归结为证明如下的数学命题： 已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t, f(t) ?g(t)=0,且g(0)=0,f(0)0。则存在t0，使f(t0)= g(t0)=0 模型求解 最后，因为f(t) ?g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。 令h(t)= f(t)-g(t),则h(0)0和h( ) 0，由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0 （0t0 ),使h(t0 )=0，即f(t0)= g(t0)。 将椅子旋转90o,对角线AC与BD互换. 由g(0)=0,f(0)0可知g( )0,f( )=0 方法总结 1) 一个变量t表示位置； 引入距离函数(只设两个)； 证明技巧——转动90度。 模型推广 1) 若对象是4条腿同长的长方形桌子，结果怎样？ 2) 某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？ (数学解法、巧妙的形象解法) 建模示例4 商人们怎样安全过河 问题(智力游戏) ? ? ? 3名商人 ? ? ? 3名随从 河 小船(至多2人) 随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货. 但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河? 问题分析 多步决策过程 决策—— 每一步(A到B或B到A)船上的人员 要求——在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河! 模型构成 xk~第k次渡河前A岸的商人数 yk~第k次渡河前A岸的随从数 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,? sk=(xk , yk)~过程的状态 S={(x , y)? x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} S ~ 允许状态集合 uk~第k次渡船上的商人数 vk~第k次渡船上的随从数 dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v)? u+v=1, 2} ~允许决策集合 uk, vk=0,1,2; k=1,2,? sk+1=sk+(-1)k dk ——状态转移律 求dk?D(k=1,2, ?n), 使sk?S按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0). 多步决策问题 模型求解 x y 3 3 2 2 1 1 0 穷举法 ~ 编程上机 图解法 状态s=(x,y) ~ 16个格点 ~ 10个 点 允许决策D ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移. s1 sn+1 d1, ?d11给出安全渡河方案 评注和思考 规格化方法, 易于推广 考虑4名商人各带一随从的情况 d1 d11 允许状态S S={(x , y)? x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} D={(u , v)? u+v=1, 2} 建模示例5 报童的诀窍！ 问题: 报童