第一章 利息基本计算供参习.doc

利息基本计算 利息的定义 1 从债权债务关系的角度看，利息是借贷关系中债务人为取得资金使用权而支付给债权人的报酬。 2 从简单的借贷关系的角度看，利息是一种补偿，由借款人支付给贷款人。 3 从投资的角度看，利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的价值增值。 第一节 利息基本函数 1 原始资本（或本金）：在投资活动中，某一方投资一定量的货币。 2 总量函数：（定义1.1）设用A(t)表示原始投资A（0）经过时间t（t0）(事先给定时间度量单位)后的价值，则当t变动时称A(t)为总量函数。 3利息：（定义1.2）总量函数A（t）在时间段内的变化量（增量）称为期初货币量A()在时间段内的利息，记为，即=…………………………………（1.1.1） 特别地，当时， 记=。…………………………（1.1.2） 并称为第n个时间段内的利息。 1.1.1 累积函数 1 累积函数（定义1.3）:设1个货币单位的本金在t（）时刻的价值为a(t), 则当t变动时称a(t)为累积函数。 显然有累积函数与增量函数的关系： 2 累积函数的基本性质： 1）a(0)=1 2) a(t)为递增函数。 说明：若累积函数为减函数，则说明将产生负利息，即货币贬值；累积函数为常数，则说明无利息。 3 常见的累积函数a(t)的种类： 1）常数函数。 2）一般的线性函数 3） 二次函数： 4）指数函数： 4 利率： 度量利息的常用方式是计算利率。 1）文字定义：是指一定的货币量在一段时间（计息期）内的变化量（利息）与期初货币量的比值。 2）数学定义：给定时间区间内的总量函数A(t)的变化量（增量）与期初货币量的比值称为在时间区间内的利率，记为（注意与利息记号的区别）即： =…………………………（1.1.3） 特别地，当时，记 =………………（1.1.4） 通常称为第n个时段的利率。 从而 (此式为递推公式)，可得到：（记住！后面用到） 5 实利率：如果计息期为标准的时间单位（如月、季、半年或年）则所对应的利率常常称为实利率。除特别说明外，以下实利率一般皆指年利率。 说明： 利率表示在一定的时间内的实际利息收入的相对量。 利率通常用百分数表示。 利率的定义要求在计息期内没有其它资本的投入，也没有原始本金的撤出即计息期内本金保持不变。 利息是在计息期期满时支付的。 6 结论1.1 某个计息期内的利率为单位本金在该计息期内的利息与期初资本量的比值，即： =………………………………………（1.1.5） 证明：= 1.1.2单利和复利 1 单利：若有这样一种累积计算方式：1个货币单位的投资经过任何一个单位的计息期产生的利息为常数，则称对应的利息计算方式为简单利息计算方式，简称单利方式，对应的利息称为单利。 结论1.2 在单利方式下有：……（1.1.6） 其中为1个货币单位本金经过一个单位计息期产生的利息，一般称为单利率。 证明：……。 说明： 在单利方式下，利息与经过的时间成正比。 在单利方式下， ……（1.1.7） 该式说明经过时间s+t产生的利息等于经过时间s产生的利息与经过时间t产生的利息之和。 注：若a(t)满足式1.1.7，则a(t)满足式1.1.6（证明） 3）……（1.1.8） 该式说明经过相同长度t的计息期所产生的利息相同。 在单利方式下的实利率是随计息期变化的。 即每个单位时间内的相对货币价值变化量是逐渐下降的。 2 复利 定义1.6 若有这样一种累积计算方式：1个货币单位的投资经过任何一个单位的计息期产生的利率为常数，则称对应的利息计算方式为复合利息计算方式，简称复利方式，对应的利息称为复利。 对复利方式，在投资期间的每个时刻，过去所有的本金与利息的收入之和都将用于下一个时刻的再投资，即利滚利。 结论1.3 在复利方式下有： ……（1.1.9） 其中为1个货币单位本金经过一个单位计息期产生的利率，一般称为复利率。 证明：因为： 所以， 说明：在复利方式下，累积函数满足条件：……………………(1.1.10) 注：若a(t)满足式1.1.10，则a(t)满足式1.1.9（证明） 即：…………………（1.1.11） 上式说明，经过相同长度t的计息期所产生的利率相同。 3 单利方式与复利方式的区别： 1）短期内两种方式计算的利息差异不大。 2）当货币量的数额增大时，两种方式计算的利息差异也会增大。 3）复利方式几乎用于所有的金融业务，单利方式只是用于短期计算或不足期的近似计算。 特别说明：今后除特别说明，一般考虑复利计算方式。 例 1.1 设年利率为5%，比较单利方式与复利方式的异同效