用迭代法求代数方程的近似根.ppt

代数方程近似求解(教材第 92-94页) 相关概念 内容提要 不动点迭代法 迭代法的收敛 迭代法收敛性判断 迭代法收敛性判断 牛顿迭代法 牛顿法迭代公式 牛顿法迭代公式 Matlab 解方程函数 上机作业与要求 * * 用迭代法求代数方程的近似根 解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：不动点迭代法 和 牛顿法。同时要求大家学会如何利用 Matlab 来求方程的近似解 问题背景和实验目的 若 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方程；否则称之为非线性方程 线性方程 与 非线性方程 本实验主要讨论非线性方程的数值求解 求解非线性方程的数值算法 牛顿迭代法 不动点迭代法 构造 f (x) = 0 的一个等价方程： 从某个近似根 x0 出发，计算 得到一个迭代序列 k = 0, 1, 2, ... ... ? (x) 的不动点 f (x) = 0 x = ? (x) 等价变换 f (x) 的零点 不动点迭代基本思想 若 收敛，即 ，假设 ?(x) 连续，则 收敛性分析 即 注：若得到的点列发散，则迭代法失效！ 例：用迭代法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。 fuluA.m 定义： 定理 2：如果定理 1 的条件成立，则有如下估计 如果存在 x* 的某个 邻域 ? =(x*-? , x* +? ), 使得对 ? x0 ? ? 开始的迭代 xk+1 = ?(xk) 都收敛, 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。 定理 1： 设 x* =?(x*)，?’(x) 在 x* 的某个 邻域 ? 内连续，且对 ?x?? 都有 |?’(x)|?q 1, 则对 ?x0? ?，由迭代 xk+1 = ?(xk) 得到的点列收敛 定理 3： 已知方程 x =?(x)，且 (1) 对 ? x?[a, b]，有 ?(x)?[a, b]； (2) 对 ? x?[a, b]，有|?’(x)|?q 1； q 越小，迭代收敛越快 ?’(x*) 越小，迭代收敛越快 则对 ?x0?[a, b] ，由迭代 xk+1 = ?(xk) 得到的点列都收敛，且 令： 牛顿法基本思想 用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法 设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 x0 处的 Taylor 展开为 牛顿迭代公式 k = 0, 1, 2, ... ... 牛顿法的收敛速度 令 牛顿法至少二阶局部收敛 当 f ’(x*) ? 0 时 ?’(x*)=0 ?(x) 即为牛顿法的迭代函数 例：用牛顿法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。 fuluB.m 牛顿法的优点 牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法 至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。 牛顿法的缺点 对重根收敛速度较慢（线性收敛） 对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解 在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解。 roots(p)：多项式的所有零点，p 是多项式系数向量 fzero(f,x0)：求 f(x)=0 在 x0 附近的一个根，f 是函数句柄，可以通过内联函数，匿名函数或函数文件来定义，但不能是方程或符号表达式！ solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 是符号表达式或符号方程； solve 也可解方程组 (包含非线性) 得不到解析解时，给出数值解 linsolve(A,b)：解线性方程组