群论 群的等价表示.ppt

* 2.2 等价表示、表示的幺正性和不可约表示 一、标量函数的变换算符 2. 标量场 ●指标量的空间分布 ●一些物理量，如质量、温度等 在转动变换中保持不变，是标量 ●标量用一个数字就可以完全描述 1. 标量 ●标量的概念是与变换相联系的，物理中常说的标量是 对三维空间的转动变换保持不变的量 ●用标量函数ψ(x)来描写，它是空间坐标的函数 ●两种观点（互为逆变换） 主动观点：坐标系不动，系统转动（√） 被动观点：系统不动，坐标系转动 如： 要描述N个粒子的系统，需要3N个坐标来描写 为了书写方便，用一个字母x描写N粒子系统的全部坐标 用标量函数ψ(x)和ψ(x)描写变换前后标量场的分布 变换记为R 则：经过R变换后，在x点的场变到了x点 因标量场在变换前后保持不变 变换后的标量场在x点的值应等于变换前的场在x点的值 3. 标量函数的变换算符PR 定义 PR是一个算符，把变换前的标量函数ψ变成新的标量函数ψ 则 （定义） （x=R-1x） （标量场） 因为自变量要取遍定义域上所有的值，符号上用x或x都一样 则有 说 明 1）变换算符PR对任意函数ψ(x)的作用规则 所有的标量函数都满足上式，即 先把原来的函数ψ(x)的自变量换成R-1x 再把它看成x的函数，就得到新的函数形式PRψ=ψ 2）PR显然是线性算符 3）ψ 与 PRψ=ψ 是两种不同的函数形式 上式给出了这两个函数值上的联系 PR作用在ψ上变成新的函数ψ 再做S变换时，PS作用在ψ上，即 而不是 4）PR构成群PG，称为群G的线性实现——对称变换群 算符PR与变换R间一一对应 它们的乘积仍按同一规则一一对应 即 变换R集合构成的群G与算符PR构成的群PG同构 练 习 由函数基ψ1(x,y)=x2,ψ2(x,y)=xy,ψ3(x,y)=y2,架设的三维函数空间对下列二维空间转动变换R保持不变，试计算变换R对应的标量函数算符PR在此函数基中的矩阵形式D(R): 二、等价表示 1. 表示空间 表示所作用的线性空间 正则表示空间：即是群代数 基：表示空间中基的选择不唯一 如：在给定的不变函数空间中，线性变换群PG作用在ψμ(x)上，得到一个线性表示，这个线性函数空间就是表示空间 而 对m维方矩阵构成的矩阵群，群元素描写m维空间的线性变换，则这m维空间就是矩阵群自身表示的表示空间 当一组基做线性组合时 PR的矩阵形式做相似变换 2. 等价表示定义 两个等价表示维数相同；相似变换矩阵X也是同维非奇异矩阵 等价于同一表示的两个表示互相等价（传递性） 等价表示无实质上的区别（只是表现形式不同） 若群G所有元素R在两个表示D(G)和D(G)中表示矩阵存在同一相似变换关系，即 则这样的两个表示称为等价表示，记作 说 明 寻找群G所有表示的问题 寻找群G所有不等价表示问题 3. 判断两个表示是否等价的充要条件 对有限群，每个元素在两个表示中的特征标对应相等，即 注：特征标是类的函数，同类中的元素表示矩阵的特征标相等，这样，只需从每类元素中选出一个元素，检验它们在两个表示中的特征标是否相等即可。 三、表示的幺正性 定理一：有限群的线性表示等价于幺正表示，而且 两个等价的幺正表示一定可以通过幺正的相似变换相联系 推论：有限群的实表示等价于实正交表示，而且 两个等价的实正交表示一定可以通过实正交的相似变换相联系 四、不可约表示 1. 准备知识 两个子空间直和： n维线性空间中，m个矢量及其所有线性组合构成m维线性空间，称为n维线性空间的子空间 子空间： 零空间（m=0），全空间（m=n） 两个平庸子空间： 子空间的矢量关于线性算符不变 PR R=S∈V子 不变（真）子空间： 设W和W是线性空间V的子空间，若对任意x∈V，可找到y∈W，z∈W，并唯一的将x表示为 x=y+z，或 V=W+W，W∩W={Ο} 则称V是W和W的直和，W和W为互补子空间 记为V=W + W 2. 不可约表示定义 若群G的表示D(G)的每一个表示矩阵D(R)都能通过一个相似变换X化成同一形式的阶梯矩阵 则此表示称为可约表示，否则称为不可约表示。 说 明 上式中两个子矩阵D(1)(R)和D(2)(R)的集合分别构成群G的线性表示 元素在可约表示中的特征标等于子表示中的特征标之和 可约表示的表示空间存在非平庸不变子空间 在表示空间中存在非平庸不变子空间的表示称为可约表示 否则是不可约表示 3. 完全可约表示 若D(G)的表示空间存在两个互补的不变子空间，可在两个子空间分别取一组基，构成整个空