统计量及其抽样分布.ppt

统计量及其抽样分布 1 统计量 1. 统计量的形成 2. 统计量是样本X1，X2……Xn的一个函数 3. 统计量不依赖任何未知参数 4. 将一组样本的具体观测值代入统计量函数，可以计算出一个具体的统计量值。 抽样 样本 构造函数 2 样本均值的抽样分布和中心极限定理 1.从一个总体中随机抽出容量相同的各种样本，从这些样本计算出的某统计量所有可能值的概率分布，称为这个统计量的抽样分布。 2. 设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，样本 均值 ，所有可能样本的均值 构成 的概率分布即为样本均值的抽样分布。 【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。4个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下 总体分布 1 4 2 3 0 .1 .2 .3 现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果如下表 3，4 3，3 3，2 3，1 3 2，4 2，3 2，2 2，1 2 4，4 4，3 4，2 4，1 4 1，4 4 1，3 3 2 1 1，2 1，1 1 第二个观察值 第一个 观察值 所有可能的n = 2 的样本（共16个） 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布 3.5 3.0 2.5 2.0 3 3.0 2.5 2.0 1.5 2 4.0 3.5 3.0 2.5 4 2.5 4 2.0 3 2 1 1.5 1.0 1 第二个观察值 第一个 观察值 16个样本的均值（x） 样本均值的抽样分布 1.0 0 .1 .2 .3 P ( x ) 1.5 3.0 4.0 3.5 2.0 2.5 x 所有样本均值的均值和方差 式中：M为样本均值的个数 样本均值的分布 当总体服从正态分布N ～(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值?X也服从正态分布，?X 的数学期望为μ ，方差为σ2/n。即?X～N(μ,σ2/n) 中心极限定理 设从均值为?，方差为?2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布。 当样本容量足够大时(n≥30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布 标准误差 标准误差：样本统计量与总体参数之间的平均差异 1. 所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度 2. 样本均值的标准误差小于总体标准差 3. 计算公式为 【例】设从一个均值μ=8、标准差σ=0.7的总 体中随机抽取容量为n=49的样本。要求： （1）计算样本均值小于7.9的近似概率 （2）计算样本均值超过7.9的近似概率 （3）计算样本均值在总体均值μ=8附近 0.1范围的近似概率 【例】某公司有400人，平均工龄为10年，标准 差为3年。随机抽出49名组成一个简单随机样本， 试问样本中工作人员的平均年龄不低于9年的概率 有多大。 解：虽然该总体的分布未知，但样本容量n=49较大 由中心极限定理可知，样本均值的抽样分布近 似服从正态分布。则均值的期望 均值的标准差 =1-Φ(-2.33)= Φ(2.33)=0.9901 练习题 某类产品的抗拉强度服从正态分布，平均 值为99.8公斤/平方厘米，标准差为5.48公斤/平 方厘米，从这个总体抽出一个容量为12的样本， 问这一样本的平均值介于98.8公斤/平方厘米和 100.9公斤/平方厘米之间的概率有多大。 3 由正态分布导出的几个重要分布 卡方 (c2) 分布 定义：设随机变量X1，X2，…Xn相互独立，且Xi 服从标准正态分布N（0，1），则它们的平方和 服从自由度为n的c2分布。 c2分布的数学期望为：E（ c2）= n c2分布的方差为： D（ c2）= 2n 当自由度n足够大时, c2分布的概率密度曲线趋于对称； 当n→+∞时, c2分布的极限分布是正态分布。 t分布和T统计量 1. t分布：设随机变量X～N（0,1），Y～ c2（n), 且X与Y独立，则 其分布称为t分布，记为t(n)，其中n为自由度。 当n≥2时, t分布的E (t)=0 当n≥3时, t分布的D (t)=n/(n-2) 2. T统计量 设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N～ (μ,σ2 ) 的一个样本， 称为T统计量,它服从自由度为(n-1)的t分布。 则 F分布 定义：设随机变量Y与Z相互独立，且Y和Z分别服 从自由度为m和n的c2分布，随机变量X有如下表达式：