有理数及其运算专题训练.doc

第四讲 有理数及其运算专题训练 【知识】 ※ ※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 ※任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数） ※如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0） ※在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。 ¤数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。 ※绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。 ※正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。 或 ※绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0 ※比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 ※绝对值的性质： ①对任何有理数a，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b，则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| ※有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 ②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 ③一个数同0相加，仍得这个数。 ※加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 ¤灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的两个数，可以先相加； ②符号相同的数，可以先相加； ③分母相同的数，可以先相加； ④几个数相加能得到整数，可以先相加。 ※有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 ¤有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号； ②改变减数的性质符号（变为相反数） 有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。 ¤有理数的加减法混合运算的步骤： ①写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号； ②利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。 （注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。） ※有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘，积仍为0。 ※如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。（如：-2与 、 …等） ※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。 ¤有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号； ②求出各因数的绝对值的积。 ¤乘积为1的两个有理数互为倒数。注意： ①零没有倒数 ②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。 ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 ※有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 ②0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。 ※有理数的乘方 ※注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51； ②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。 ※乘方的运算性质： ①正数的任何次幂都是正数； ②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ③任何数的偶数次幂都是非负数； ④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0； ⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1； ⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 ※有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。【经典例题】[例1] 计算 （1）?? （2）?? （3）?? （4）?? （5） 解： （1） （2） （3） （4） （5） [例2] 用科学记数法表示下列各数。 （1）700000??? （2）500900000 解： （1）700000 （2）500900000 ? [例3] 计算： （1）??? （2） 解： （1）原式 （2）原式 ???????? ???????? ? [例4] 计算： 解：原式 ? [例5] 计算： 解：原式 ? [例6] 计算： 解：原式 ??????? ??????? ??????? ??????? ? [例7] 计算： 解：原式 ??????? ??????? ??????? ? [例8] 如果，求代数式的值。 解：当时，原式 ???????????????????? ? ???????????????????