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矢量分析与场论 矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。 第1章 矢量分析 在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究的重要对象。本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。 §1.1 矢函数 与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。 1、矢函数的概念 定义1.1.1 设有数性变量和变矢A，如果对于在某个范围内的每一个数值，A都以一个确定的矢量和它对应，则称A为数性变量的矢量函数，记作 A=A （1.1.1） 并称为矢函数的定义域。 在直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成 A （1.1.2） 其中都是变量的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。 本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A的起点取在坐标原点。这样当变化时，A的终点就描绘出一条曲线（图1.1），这样的曲线称为矢函数A的矢端曲线，也称为矢函数A的图形。同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。愿点也称为矢端曲线的极。 由于终点为的矢量对于原点的矢径为 当把A的起点取在坐标原点时，A实际上就成为其终点的矢径，因此的三个坐标就对应地等于其终点的三个坐标，即 （1.1.3） 此式就是曲线的参数方程。 只是模变化而方向不变的矢量，它的矢端曲线是通过记得射线。只改变方向而模不变的矢量，它的矢锻曲线是位于以极为中心模为半径的球面上的某一曲线。 2、矢函数的极限和连续性 定义1.1.2 设矢函数A在点的某个领域内有定义（但在处可以无定义），A为一常矢。若对于任意给定的正数，都存在一个正数，使当满足时，就有 |A－A| 成立，则称A为A当时的极限，记作 A=A （1.1.4） 矢函数的极限定义与数性函数的极限定义完全类似。因此矢函数也就有类似于数性函数极限的运算法则。如 A=·A （1.1.5） [AB]=AB （1.1.6） [A·B]=A·B （1.1.7） [A×B]=A×B （1.1.8） 其中为数性函数，A，B为矢函数；且时，，A，B的极限均存在。 若设 A= i+ j+k 则由法则（1.1.6）与（1.1.5）有 A=i+j+k （1.1.9） 即求一个矢函数的极限可以归结为求三个数性函数的极限。 定义1.1.3 若矢函数A在的某个邻域内有定义，且有 A=A （1.1.10） 则称A在处连续。 即矢函数A在处连续的充分必要条件是它的三个坐标函数都在处连续。 若矢函数A在某个区间内的每一点处都连续，则称函数A在该区间内连续。或称A是该区间内的连续函数。 §1.2 矢函数的导数与微分 矢函数的微分法是矢量分析的重要内容，在空间直角坐标系中，一个矢量与三个数量（坐标）构成一一对应关系，因而矢函数也有类似于数性函数的导数，微分概念及运算法则。 1、矢函数的导数 设有起点在原点的矢函数A，当数性变量在其定义域内从变到时，对应的矢量分别为 A A 如图1.2.1，则 A-A= 称为矢函数A的增量，记作A，即 A=A- A （1.21.） 据此，我们给出矢函数的导数定义。 定义1.2.1 设矢函数A在点的某一个邻域内有定义，并设也在这邻域内，若A对应于的增量A与之比 当时，其极限存在，则称此极限为矢函数A在点处的导数（简称导矢），记作，或，即 （1.2.2） 若，且函数