矩阵及其运算.docVIP

矩阵及其运算 矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久远，可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九章算术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵，所用的解法就是矩阵的初等变换。 矩阵的运算是线性代数的基本内容。1849年英国数学家凯莱介绍了可逆方阵对乘法成群。凯莱 —— 毕业于剑桥三一学院，他与西勒维斯特长期合作作了大量的开创性的工作创立了矩阵论；与维尔斯特拉斯一起创立了代数型理论，奠定了代数不变量的理论基础；他对几何学的统一也有重大贡献，一生发表近千篇论文。 本章首先引入矩阵概念，继而介绍矩阵的基本运算和可逆阵的概念，最后介绍简化矩阵运算的技巧——矩阵分块法。 本章要求掌握矩阵的运算，会求可逆阵的逆矩阵。 §1 矩 阵 一. 矩阵的定义 引例 10 求解线性方程组是一个重要问题，但仅仅写方程组就很麻烦，我们的想法是能否找到与线性方 程组一一对应的等价形式，从而化减线性方程组的求解运算。 设含个m方程、n个未知数的线性方程组为 (1) (1)的系数共有m×n个数，可排成一个m行n列的矩形的数阵 ( 且这个数阵与(1)式左端构成一一对应，称为线性方程组(1)的系数矩阵。 20 列昂杰夫投入—产出模型 从经济角度来看，每个部门都有双重身份： ① 作为生产部门生产出各种产品以满足各种需要 —— 产出 ② 作为消费者又消费着其他部门生产的产品 —— 投入 设某国民经济(或某地区的经济)有n个经济部门。为简单起见，假定每部门只生产一类产品。为便于比较，用货币来表示各部门所生产的产品与消耗的商品: ——表示每生产1万元第j类商品要消耗掉万元的第i类商品，称为投入系数，显然。例如：表示每生产1万元第四类商品要消耗掉0.45万元的第三类商品。 所有的投入系数共n(n个，可排成一个n行、n列的数表，将数表用一括号括起来，即有 ——称为投入—产出矩阵。 例如 ———运行正常！！但效益最好的是生产第2类产品的部门。 A: 第一列元素分别表示生产第一类商品所消耗的第一类商品、第二类商品及第三类商品的价值（用货币表示）；同理，第二（三）列的元素则分别表示生产第二（三）类商品所消耗的各类商品的值。 若1，则表明每生产1万元的第i类产品就要消耗掉1万多元的第j类产品——亏损！！！ 若A的某列元素的和 1——意味着每生产1万元此类产品消耗了1万多元——亏损！！！ 这种由m行n列个数构成的数表在数学上就被抽象成矩阵的概念。 定义 由m×n个数排成的m行n列的数表 称为m行n列矩阵，简称m(n矩阵，记为 A. 这m(n个数称为矩阵A的元素，也简称为元，元素位于矩阵的第i行第j列，称为矩阵的(i,j)元， 矩阵A也常简记为()，m(n矩阵A也记为或. 注 矩阵和行列式不一样！！！ 矩阵是一个数表，而行列式是一个实数！ 实矩阵——元素均为实数的矩阵。 复矩阵——元素中有复数的矩阵。 注 我们只研究实矩阵，如不特别申明，今后所提到的矩阵均为实矩阵。 方阵——行数与列数都等于的矩阵称为n阶矩阵，或强调称为n阶方阵，常记为. 行矩阵——只有一行的矩阵AB，又称行向量，也记为. 列矩阵——只有一列的矩阵，又称列向量。 同型矩阵——行数相等，列数也相等的矩阵。 矩阵的相等——若A、B为同型矩阵，且对应元素相等，即就称矩阵A与B相等，记作A = B. 零矩阵——元素均为零的矩阵，记为O. 注意：不同型的零阵是不相等的。 例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量就可用矩阵表示 A，其中 表示工厂向第i店发送第j种产品的数量。 且这四种产品的单价和单件重量也可表示为矩阵 ，其中为第i种产品的单价，为第i种产品的单件重量。 例2 四城市间的单线航线通航图如右图所示，令 则此航线图可用矩阵表示为 ， 一般地，有限多个点之间的单向或双向通道图都可以这样用矩阵表示，它实际上就是用矩阵作工具进行研究的一个数学分支——图论的内容。方阵A称为图的邻接矩阵。 例3 若个n变量与m个变量之间有变换关系 ，