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谈如何解答最值型应用题 德化县葛坑中学 张贵炤 最值型应用题考，这类问题贴近生活、贴近社会有利于体现数学的人文价值和社会价值，有利于考查学生的分析、猜想、建模和综合应用等各方面的能力最值型应用题某企业为适应市场需求，准备投入资金10万元，生产W和R型两种产品经市场预测，生产W型产品所获利润y(万元)与投入资金x(万元)的关系为y＝2＋x生产R型产品所获利润y(万元)与投入资金x(万元)的关系满足y＝x为获得最大利润，问生产W、R型两种产品各应投入资金多少万元?获得的最大利润是多少?(精确到0.01万元) x万元（），则投入生产R的资金是（10-x）万元； （3）生产W型产品所获利润y(万元)与投入资金x(万元)的关系为y＝2＋x生产R型产品所获利润y(万元)与投入资金x(万元)的关系y＝xx万元（）。 建立了数学模型，就等于迈出了成功解题最关键的第一步。高中数学最值型应用题主要涉及哪些数学模型呢？ 1、常用函数型。 通过建立常用函数模型进行解题的最（极）值型应用题是高考及平时训练最常见的，所涉及的常用函数有：一次函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数、分段函数、复合函数等，如例1所建立的就是复合函数的模型。 例2、A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往C、D两村，如果从A城运往C、D两地运费分别是20元/吨与25元/吨，从B城运往C、D两地运费分别是15元/吨与25元/吨，已知C地需要220吨，D地需要280吨。如果个体户承包了这次运输任务，请你帮他算一算，怎样调运花钱最少？ 解析：此题文字信息量大，数据较多，可先凭借图形处理，如图所示。设A城化肥运往C地x吨。本题的终极目标量是总调运费。考虑建立总调运费的等量关系：总调运费＝运走A城的化肥费用＋运走B城的化肥费用。设总调运费用为y，则可建立如下一次函数模型： y＝20x＋25(200－x)＋15(220－x)＋22(80＋x)， 化简，得y＝2x＋10060(0≤x≤200)。 例3、在某沙漠地区，A地生产汽油，B地需要汽油，汽车若由A地直接向B地运油，由于往返一次的耗油量恰好等于汽车满载量，所以此法不可行，因此，需要在A到B的途中设一中转站D。先由往返于A、D之间的汽车将油从A运到D，再由往返于D、B之间的汽车将油从D运到B(设此过程中，每辆运油车的满载量、耗油量、行驶速度均相等)。为使运油率达到最大，则中转站D就建在何处？(运油率＝) 解析：设每辆汽车的满载量为W，AB之间的路程为s，AD＝（x0）， 则从A到D的运油率为P1＝＝＝－－)2＋（x0）。 例4、某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)＝5x－x2(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)。(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？ 解析：利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当x≤5时，产品能全部售出，当x5时，只能销售500台，所以y= R(x)- C(x)可得： y=化简得到以下分段函数模型：y= 。 2、不等式型。 一些最值型的应用题可建立一个不等式模型，通过解不等式（组）而达到求解的目的。或者先建立形如或的函数，再应用 “”系列不等关系求得最值。 例5、根据实验可以测出：汽车从刹车到停车所滑行的距离(m)与时速(km/h)的平方及汽车总重量成正比例关系。设某辆卡车不装货物以时速50km/h的速度行驶时，从刹车到停车走了20m，如果这辆货车装着等于车重的货物行驶时，发现前面20m处有障碍物，这时为了能在离障碍物5m以外处停车，最大限制时速应是多少(答案只要求保留整数部分，设卡车司机从发现障碍物到刹车需经过1s)？ 解析： (1)理顺以下关系：汽车从刹车到停车所滑行的距离(m)与时速(km/h)的平方及汽车总重量存在正比例关系；正比例关系中的系数k可求吗？题中所给的两个数据：设某辆卡车不装货物以时速50km/h的速度行驶时，从刹车到停车走了20m有何作用；汽车滑行距离的函数表达式是什么；问题的结论中有障碍物时汽车所允许滑行的最大距离。 (2)建立函数与不等式模型： 建立汽车滑行距离的函数模型：设汽车的时速为x千米/小时，汽车总重量为W，则滑行距离y＝kx·W，其中k为比例系数；今设汽车自重为P，则当W＝P，x＝50时，y＝20×10千米．由＝k·50P，得k＝，∴y＝。 建立最大限速的不等式模型：由题设，令滑行距离小于等于15米：得·x＋x·2P≤。最后通过解不等式求得最大限速。 3、线性规划型。 线性规划是《运筹学》中的基本内容，是通过数形结合方法来解决日常生活实践中的最