谈谈提高平面几的何解题方法.docx

谈谈如何提高平面几何的解题方法1110511026梁晓丽2014年6月17日摘要：平面几何难学，是很多初中生在学习中的共识，这里面有很多主观和客观因素，而学习不得法、没有适当的解题思路则是其中的一个很重要原因。本文要从几何证题的推理方法、证明几何量垂直问题的常用方法和构造全等三角形的方法这三个方面论述如何提高平面几何的解题方法，希望能给同学们带来一些这方面的帮助。关键词：同一法 垂直方法 构造全等三角形 平面几何 解题方法提高平面几何的解题方法，我在几何证题的推理方法、证明几何量垂直问题的常用方法和构造全等三角形的方法这三个方面有较深的体会。下面分别对其一一进行详细介绍。1.几何证题的推理方法几何命题的推理证明方法类型较多，按思考的顺序及命题的类型不同，我把它归纳为以下4种方法：（1）综合法；（2）分析法；（3）直接证法；（4）间接证法。而间接证法又包括反证法和同一法两种。这两种方法中同一法的局限性较大，仅适用于同一性命题，往往有些同学因没把握好这点而误用同一法，不是同一性命题的题也用同一法去做，就出错了。如下通过例子来说明怎样用同一法，从而提高解题能力。设PB、PC分别是△ABC的两角∠B、∠C的外角平分线，且它们相交于点P. 求证：P在∠A的平分线上.基本思想方法：此题是与直线的位置结合关系的题，“某点在直线上”与“直线经过某点”意思相同，也就是说点与直线的这种关系具有“唯一性”，所以它是同一性命题，则可用同一法去证。即要证P在∠A的平分线上，只要证AP为∠A的平分线即可。证明：如图，过P点分别作AB、BC、AC的垂线PE、PD、PF交于E、D、F ∵ PB、PC分别是∠B、∠C的外角平分线∴ PE=PD PF=PD∴ PE=PD=PF又 AP=AP∴ Rt△APE≌Rt△APF (HL)∴ AP为∠A的平分线即P在∠A的平分线上.2.证明几何量垂直问题的常用方法垂直问题也是几何中常见的问题，虽然表述的是直线与直线的位置关系，但可以看作是角的问题或纳入几何形的关系或性质之中。为了能提高与垂直问题有关的平面几何题的解题能力，我总结出如下几个证垂直的常用方法：（1）利用等腰三角形的三线合一利用四点共圆（或利用圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角）利用勾股定理的逆定理利用全等三角形的对应角相等关系利用直角三角形中两锐角互余证利用菱形的对角线互相垂直通过证明与直角三角形相似构造矩形（利用矩形性质）（9）进行直接计算（转化为角的问题）例2.1 如图：已知OA=OB AC=BD且∠A=∠B=90o M为CD的中点，求证：OM⊥CD.证明：如2-1图所示，连接OC、OD 在△AOC和△BOD中， OA=OB ∠A=∠B=90o AC=BD∴ △AOC≌△BOD (SAS)∴ OC=OD在等腰△OCD中，M为中点∴ OM是底边的中线，也是高（三线合一）∴ OM⊥OC. 例2.2 如图，AD是△ASC的高，E是AD上一点，，BE的延长线交AC于点F，BE=AC DE=DC.求证：BF⊥AC. 分析：欲证BF⊥AC，可以验证∠FBC+∠C=90o是否正确。由已知∠FBC+∠C=90o，只要能够证明∠C=∠BED就行了，故需要证明△ADC≌△BDE. 证明： ∵ AD是△ABC的高 ∴ ∠ADB=∠ADC=90o∴ △ADC与△BDE都市直角三角形 ∴ 在Rt△ADC与Rt△BDE中，AC=BE DC=DE ∴ Rt△ADC≌Rt△BDE (HL) ∴ ∠C=∠BED (全等三角形对应角相等) ∴ 在Rt△BDE中，由于∠EBD+∠BED=90o (直角三角形两锐角互余) ∴ ∠EBD+∠C=90o ∴ ∠BFC=90o ∴ BF⊥AC (垂直的定义) 例2.1 说明了通过方法（1）来证垂直，从而体现提高解平面几何的题的能力，而例2.2则涵盖了方法（4）、（5），通过巧用这两种方法来提高解题的速度和能力。其它方法在此就不一一举例说明了。3.构造全等三角形的方法通过构造全等三角形来提高平面几何中的解题能力是一种很常见，也非常经典的做法。所以通过构造来进行解题的思想甚好。那么下面就向大家介绍5种通过合同变换构造全等三角形的具体方法。利用三角形的中线来构造全等三角形例3.1 如图，在△ABC中，AD是中线，BE交AD于F,且AE=EF，试说明线段AC与BF相等的理由。 分析：要说明线段或角相等，通常的思路就是说明它们所在的两个三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形，从而化简题目。 解：如图3-1，理由如下： 延长AD到G，使DG=AD,连结BG，则在△ACD和△GBD中， AD=GD ∠ADC=∠GDB CD=BD ∴ △ACD≌△GBD (SAS) ∴ AC=BG ∠