江苏省苏锡常镇四市2013届高三5月教学情况调查(二)数学试题.doc

江苏省苏、锡、常、镇四市2013届高三5月教学情况调查（二） 数学试题 2013.5 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上； 已知是虚数单位，复数对应的点在第 象限。 设全集，集合，集合，则 。 已知数列的通项公式为，则数据，，，，的方差为 。 “”是“”的条件。（请在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）。 若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则此双曲线方程为 。 根据右图所示的流程图，输出的结果为 。 在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为 。 在不等式组，所表示的平面区域内的所有格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为 。 在矩形中，对角线与相邻两边所成的角为，，则有。类比到空间中的一个正确命题是：在长方体中，对角线与相邻三个面所成的角为，，，则有 。 已知圆：与直线相交于、两点，若，则实数 。 分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为 。 已知向量，满足，，且对一切实数，恒成立，则与的夹角大小为 。 已知，均为正数，，且满足，，则的值为 。 已知为正的常数，若不等式对一切非负实数恒成立，则的最大值为 。 二、解答题：本大题共6个小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 （本小题满分14分） 如图，中，，角的平分线交于点，设，； 求和； 若，求的长； （本小题满分14分） 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面是等边三角形，侧面是以为斜边的直角三角形，为的中点，为的中点。 求证：//平面； 求证：平面； 求三棱锥的体积； （本小题满分14分） 已知等差数列的公差不为0，且，。 求数列的通项公式； 设数列的前项和为，求满足的所有正整数的集合； （本小题满分16分） 如图，设，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，过原点作直线交线段于点（异于点，），交椭圆于，两点（点在第一象限内），与的面积分别为与。 若是线段的中点，直线的方程为，求椭圆的离心率； 当点在线段上运动时，求的最大值； （本小题满分16分） 如图所示，有两条道路与，，现要铺设三条下水管道，，（其中，分别在，上），若下水管道的总长度为。设，。 求关于的函数表达式，并指出的取值范围； 已知点处有一个污水总管的接口，点到的距离为，到点的距离为，问下水管道能否经过污水总管的接口点？若能，求出的值，若不能，请说明理由； （本小题满分16分） 已知为正的常数，函数； 若，求函数的单调增区间； 设，求函数在区间上的最小值； 附加题 （选做题）在，，，四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分，解答时应先写出文字说明、证明过程或演算步骤。 选修4-1：几何证明选讲 如图，为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点，，的平分线分别交，于点，，求证：。 选修4-2：矩阵与变换 已知，，在矩阵对应变换的作用下，得到对应点分别为，，，求矩阵； 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两点，求的长； 选修4-5：不等式选讲 已知常数满足，解关于的不等式：； （必做题）第22题、第23题，每题10分，共20分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （本小题满分10分）。 已知抛物线：和抛物线：在交点处的两条切线互相垂直，求实数的值； （本小题满分10分） 已知数列满足，。 求，，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明； 设，，比较与的大小；  ·1·