第七章非线性方程求根.ppt

第七章 非线性方程求根 7.1 方程求根与二分法 7.2 迭代法及其收敛性 7.3 迭代法收敛的加速方法 7.4 牛顿法 7.5 弦截法与抛物线法 7.6 解非线性方程组的牛顿迭代法 7.1 方程求根与二分法 本章讨论非线性方程 的求根问题，其中一类 特殊的问题就是多项式方程 的求根。 方程 的根 又称为 的零点，它使 若 可表示为 ，其中 为正整数，且 。当 时，称 为单根，若 称 为 重 根，或 的 重零点。若 是 的 重零点，且 充分光滑，则 7.1 方程求根与二分法 当 为代数多项式时，根据代数基本定理可知， 次方程在复数域有且只有 个根，因此可利用迭代 法求代数方程的根。 二分法 若 ，且 ，根据连续函数性质 可知 在 内至少有一个实根，此时称 为方程 若 可表示为 ，其中 为正整数，且 。当 时，称 为单根，若 称 为 重 根，或 的 重零点。若 是 的 重零点，且 充分光滑，则 7.1 方程求根与二分法 当 为代数多项式时，根据代数基本定理可知， 次方程在复数域有且只有 个根，因此可利用迭代 法求代数方程的根。 二分法 若 ，且 ，根据连续函数性质 可知 在 内至少有一个实根，此时称 为方程 的有根区间。 例：求方程 的有根区间。 解：通过计算部分点的函数值，得到如下结果： 由此得到方程的有根区间为： 。 7.1 方程求根与二分法 二分算法 设已找到有根区间 ，满足 ，且 在 上只有一个零点，步骤如下： (1) 先设 对于一般的区间 ，设其中点 为： (2) 检验 的符号，若与 同号，就取 ， 的有根区间。 例：求方程 的有根区间。 解：通过计算部分点的函数值，得到如下结果： 由此得到方程的有根区间为： 。 7.1 方程求根与二分法 二分算法 设已找到有根区间 ，满足 ，且 在 上只有一个零点，步骤如下： (1) 先设 对于一般的区间 ，设其中点 为： (2) 检验 的符号，若与 同号，就取 ， 否则取 这样必有 所以 就是新的有根区间，继续此过程，即可得 到结果。 算法：(1)令 (2) 若 或 ，则输出 ，结束 (3) 若 ，则令 ，否则令 (4) 转向1) 7.1 方程求根与二分法 这样，我们得到了一个序列 ，为确定 的收敛性 我们有如下的定理： 定理：设 则二分算法产生的 序列 满足 其中 为方程的根。 证明：因为 由 对分得到，所以对 否则取 这样必有 所以 就是新的有根区间，继续此过程，即可得 到结果。 算法：(1)令 (2) 若 或 ，则输出 ，结束 (3) 若 ，则令 ，否则令 (4) 转向1) 7.1 方程求根与二分法 这样，我