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第三章　变量变化速度与局部改变量 估值问题——导数与微分 ?学之之博，未若知之之要，知之之要，未若行之之实. ——朱熹：《朱子语类辑略》 在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了. ——恩格斯 本章简介 数学中研究导数、微分及其应用的部分叫做微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分叫做积分学.微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学，或称数学分析，是高等数学最基本最重要的组成部分，是现代数学很多分支的基础.它是人们认识客观世界、探索宇宙奥妙乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（F.Engels,德，1820－1895）指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了.” 微积分发展史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材. 然而，微积分教学存在着遗憾，正如美国数学家、数学教育家R.柯朗（R.Courant,1888-1972）所指出的那样：“微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一.它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别的有效工具.遗憾的是，微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶”.我们在微积分教学中，要努力发掘微积分震撼心灵的力量. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，而微分概念却姗姗来迟，16世纪才应运萌生.至17世纪，由天才的英国数学家、物理学家牛顿与德国哲学家、数学家莱布尼茨，在不同的国家，几乎同时在总结先贤研究成果的基础上，各自独立地创建了划时代的微积分，为数学的迅猛发展，科学的长足进步，乃至人类文化的昌盛作出了无与伦比的卓越贡献. 本章与下章介绍一元微分学，一元积分学.本章介绍导数、微分的概念及其运算法则. §1函数的局部变化率——导数 1.1抽象导数概念的两个原型 问题提出 我们在解决实际问题时，除了需要了解变量之间的函数关系以外，有时还需要研究变量变化快慢的程度.例如物体运动的速度，城市人口增长的速度，国民经济发展的速度等，而这些问题只有在引进导数概念之后，才能解决. 学习过程 原型Ⅰ　求变速直线运动的速度 设一质点从点开始作变速直线运动，经秒到达点，求该质点在时刻的瞬时速度. 分析 （1）以为原点，沿质点运动的方向建立数轴——轴（图3.1） 用表示质点运动的路程，则有 （2）质点作匀速直线运动时，路程、时间、速度之间的关系： （3）想一想 如何处理速度变与不变的矛盾？ （4）分以下三步解决速度变与不变的矛盾 ①求增量 给一个增量，则路程有了增量 ②求增量的比（局部以匀速代变速） ③取极限（平均速度的极限值即为在时刻的瞬时速度） 原型Ⅱ　求曲线切线的斜率 求曲线在点处的切线斜率 分析　如图3.2所示： （1）复习曲线在点处切线的概念 曲线上两点和的连线是该曲线的一条割线，当点沿曲线 无限趋近于点时，割线绕转动，其极限位置就是曲线在点处的切线. （2）复习过两点的直线斜率公式 （3）提出问题如何以直代曲，实现曲与直矛盾的转化？ （4）解决曲与直的矛盾即求曲线在点处的切线斜率的三个步骤. ①求增量：给一个增量,则有 ②求增量比（局部以直代曲） ③取极限（即割线斜率的极限就是切线的斜率） 　 1.2导数概念 问题提出 从数学的角度考虑两个原型的共同点引入导数的概念 （1）求一个变量相对于另一个相关变量的变化快慢程度，即变化率问题； （2）处理问题的思想方法相同； （3）数学结构相同. 学习过程 1、定义　设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在点处有增量（点仍在该邻域内）时，相应的函数有增量如果与之比，当时的极限存在，则称这个极限值为在点处的导数，记作，即 （3.1） 亦可记作 ， 注意 （1）若极限（3.1）存在，则称函数在点处可导； （2）若极限（3.1）不存在，则称函数在点处不可导； （3）函数的平均变化率 函数的平均变化速度称为函数的平均变化率. （4）函数在点处的瞬时变化率 导数称为函数在点处的瞬时速度. （5）概括导数的概念 导数是平均变化率的极限 2、导数的力学意义 导数的力学意义是变速直线运动的瞬时速度. 3、导数的何意义 导数的几何意义是曲线的切线斜率. 4、求导数的步骤 (1)给一个增量，求相应的函数增量； (2)求平均变化率； (3)求平均变化率的极限，即 5、应用举例 例1　求函数在点处的导数 解 （1）确定，即 （2）求，即 （3）求，即 （4）取极限得 6、函数在区间内可导 如果函数y=f(x)在区间内的每