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第三章变量变化速度与局部改变量
第三章 变量变化速度与局部改变量
估值问题——导数与微分
?学之之博,未若知之之要,知之之要,未若行之之实.
——朱熹:《朱子语类辑略》
在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了.
——恩格斯
本章简介
数学中研究导数、微分及其应用的部分叫做微分学,研究不定积分、定积分及其应用的部分叫做积分学.微分学与积分学统称为微积分学.
微积分学,或称数学分析,是高等数学最基本最重要的组成部分,是现代数学很多分支的基础.它是人们认识客观世界、探索宇宙奥妙乃至人类自身的典型数学模型之一.
恩格斯(F.Engels,德,1820-1895)指出:“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了.”
微积分发展史曲折跌宕,撼人心灵,是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材.
然而,微积分教学存在着遗憾,正如美国数学家、数学教育家R.柯朗(R.Courant,1888-1972)所指出的那样:“微积分,或者数学分析,是人类思维的伟大成果之一.它处于自然科学与人文科学之间的地位,使它成为高等教育的一种特别的有效工具.遗憾的是,微积分的教学方法有时流于机械,不能体现出这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶”.我们在微积分教学中,要努力发掘微积分震撼心灵的力量.
积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期,而微分概念却姗姗来迟,16世纪才应运萌生.至17世纪,由天才的英国数学家、物理学家牛顿与德国哲学家、数学家莱布尼茨,在不同的国家,几乎同时在总结先贤研究成果的基础上,各自独立地创建了划时代的微积分,为数学的迅猛发展,科学的长足进步,乃至人类文化的昌盛作出了无与伦比的卓越贡献.
本章与下章介绍一元微分学,一元积分学.本章介绍导数、微分的概念及其运算法则.
§1函数的局部变化率——导数
1.1抽象导数概念的两个原型
问题提出
我们在解决实际问题时,除了需要了解变量之间的函数关系以外,有时还需要研究变量变化快慢的程度.例如物体运动的速度,城市人口增长的速度,国民经济发展的速度等,而这些问题只有在引进导数概念之后,才能解决.
学习过程
原型Ⅰ 求变速直线运动的速度
设一质点从点开始作变速直线运动,经秒到达点,求该质点在时刻的瞬时速度.
分析
(1)以为原点,沿质点运动的方向建立数轴——轴(图3.1)
用表示质点运动的路程,则有
(2)质点作匀速直线运动时,路程、时间、速度之间的关系:
(3)想一想 如何处理速度变与不变的矛盾?
(4)分以下三步解决速度变与不变的矛盾
①求增量
给一个增量,则路程有了增量
②求增量的比(局部以匀速代变速)
③取极限(平均速度的极限值即为在时刻的瞬时速度)
原型Ⅱ 求曲线切线的斜率
求曲线在点处的切线斜率
分析 如图3.2所示:
(1)复习曲线在点处切线的概念
曲线上两点和的连线是该曲线的一条割线,当点沿曲线
无限趋近于点时,割线绕转动,其极限位置就是曲线在点处的切线.
(2)复习过两点的直线斜率公式
(3)提出问题如何以直代曲,实现曲与直矛盾的转化?
(4)解决曲与直的矛盾即求曲线在点处的切线斜率的三个步骤.
①求增量:给一个增量,则有
②求增量比(局部以直代曲)
③取极限(即割线斜率的极限就是切线的斜率)
1.2导数概念
问题提出
从数学的角度考虑两个原型的共同点引入导数的概念
(1)求一个变量相对于另一个相关变量的变化快慢程度,即变化率问题;
(2)处理问题的思想方法相同;
(3)数学结构相同.
学习过程
1、定义 设函数在点的某一邻域内有定义,当自变量在点处有增量(点仍在该邻域内)时,相应的函数有增量如果与之比,当时的极限存在,则称这个极限值为在点处的导数,记作,即
(3.1)
亦可记作 ,
注意
(1)若极限(3.1)存在,则称函数在点处可导;
(2)若极限(3.1)不存在,则称函数在点处不可导;
(3)函数的平均变化率
函数的平均变化速度称为函数的平均变化率.
(4)函数在点处的瞬时变化率
导数称为函数在点处的瞬时速度.
(5)概括导数的概念
导数是平均变化率的极限
2、导数的力学意义
导数的力学意义是变速直线运动的瞬时速度.
3、导数的何意义
导数的几何意义是曲线的切线斜率.
4、求导数的步骤
(1)给一个增量,求相应的函数增量;
(2)求平均变化率;
(3)求平均变化率的极限,即
5、应用举例
例1 求函数在点处的导数
解 (1)确定,即
(2)求,即
(3)求,即
(4)取极限得
6、函数在区间内可导
如果函数y=f(x)在区间内的每
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