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第三章 数学教育的基本理论 [德]Felix Klein(1849-1925) 克莱因之路(P3) [荷] H.Freudenthal(1905-1990) 费赖登塔尔(P43) [美] G.Polya(1887-1985) 波利亚解题理论(P46) [瑞] Jean Piaget(1896-1980) 皮亚杰智力发展理论 [美] D.P.Ausubel 奥苏伯尔有意义言语学习理论 中国”双基”数学教学理论(2006) 差异数学教学理论(2007) 祝”嫦娥一号”探月卫星发射成功! 公元2007年10月24日18:05 克莱因(Klein)的数学教育观点 克莱因，数学家、数学教育家.一代几何学权威，1872年发表著名的几何学“爱尔兰根纲领”，用运动群下的不变量对几何学进行分类，成为划时代的数学里程碑. 他后来是世界数学中心——哥廷根大学的数学领导人.并在那培养了第一个数学教育博士Rudolf Chimmack. 1908年，在第四届国际数学家大会(ICM)上成立了国际数学联盟(TMU)的一个新的下属组织——国际数学教育委员会(ICMI)，克莱因当选为该委员会第一任主席. Klein的数学教育观 （1）数学教师应具备较高的数学观点，只有观点高了，事物才能显得简单明了； （2）教育应该是发生性的(数学教学是生成的)； （3）应该用综合起来的一般概念和方法来解决问题，而不是去钻研那种特殊的解法(通法通识)； （4）应该把算术、代数和几何学方面的内容，用几何的形式以函数为中心观念综合起来(统一观点下的、整体的数学). §3.1 Freudenthal数学教育理论 弗赖登塔尔（H. Freudenthal, 1905-1990） 荷兰皇家科学院院士和数学教育研究所所长 专长为李群和拓扑学，后重心转向数学教育 1967-1970年期间任国际数学教育委员会(ICMI)主席，倡议召开第一届ICMI；倡导数学教育研究要像研究数学一样，以科学论文形式交流，即前人作了什么，我作了什么，证据是什么，并有详细的文献支持，注重学术研究规范. 1987年曾来华访问（华东师大和北京师大） Freudenthal数学教育理论 代表作《作为教育任务的数学》 数学教育的基本特征（现实,数学化,再创造）: ——情景问题是教学的平台. ——数学化是数学教育的目标. ——学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分. ——“互动”是主要的学习方式. ——学科交织是数学教育内容的呈现方式. 何谓数学教育中的现实 数学教育中的现实——数学来源于现实，存在于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”. 数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实. 如：例题生活化，问题情境化. 运用“现实的数学”进行教学 第一，数学的概念、运算、法则和命题，都是来自于现实世界的实际需要而形成的，是现实世界的抽象反映和人类经验的总结. 第二，数学研究的对象，是现实世界同一类事物或现象抽象而成的量化模式. 第三，数学教育应为不同的人提供不同层次的数学知识. 什么是数学化 人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程——即数学地组织现实世界的过程就是数学化. 数学教学即是数学化的教学. 抽象化、公理化、模型化、形式化等等，都可看成是数学化. 现实数学教育所说的数学化的形式有两种：实际问题转化为数学问题的数学化；从符号到概念的数学化. 数学化的基本流程（1） 实际问题转化为数学问题的数学化的流程： 1.确定一个具体问题中包含的数学成分； 2.建立这些成分与学生已知数学模型之间的联系; 3.通过不同方法使之形象化、符号化和公式化； 4.找出蕴涵其中的关系和规则； 5.考虑相同数学成分在其他数学知识领域的体现; 6.作出形式化的表述. 数学化的基本流程（2） 从符号到概念的数学化的基本流程： 1.用数学公式表示关系； 2.对有关规则作出证明； 3.尝试建立和使用不同的数学模型； 4.对得出的数学模型进行调整和加工； 5.综合不同数学模型的共性，形成新模式； 6.用已知数学语言尽量准确的描述得到的新概念和新方法. 数学学习的“再创造” 学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doing mathematics)的过程。其核心是数学过程再现。 数学学习是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生学生主动学习，做数学是学生理解数学的