第三章线性系统的时域分析.ppt

时域分析——给系统施加一输入信号，通过研究系统的输出（响应）来评价系统的性能。 如何评价一个系统性能的好坏，有一些动态和稳态的性能指标可以参考。  线性定常系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性。如果线性定常系统的时域响应随着时间的推移, 是逐渐收敛的,即 系统的时域响应能最终收敛到一个稳定状态, 则称该线性定常系统是稳定的; 反之，如果时域响应发散, 则该线性定常系统就是不稳定的。 二、线性定常系统稳定的充分必要条件 线性定常系统传递函数的通式为 系统的特征方程式为 经过研究得出如下结论： 线性定常系统稳定的充分必要条件是, 特征方程式的所有根均为负实根或其实部为负的复根, 即特征方程的根均在复平面的左半平面。 由于系统特征方程的根就是系统闭环传函的极点, 因此也可以说, 线性定常系统稳定的充分必要条件是系统闭环传函的极点均在复平面的左半平面。  若线性定常系统在复平面右半平面没有极点, 但虚轴上存在极点, 则称系统为临界稳定。在工程上, 临界稳定属于不稳定, 因为参数的微小变化就会使极点具有正实部, 从而导致系统不稳定。 三、劳斯稳定判据 根据线性定常系统稳定性的充要条件, 我们可以通过求取系统特征方程式的根, 并检查根实部的符号来判断系统是否稳定。 但由于系统特征方程式一般为高次代数方程, 因此要计算其特征根并不是一件容易的事。 采用劳斯稳定判据, 可以不用求解特征方程, 而只根据特征方程系数做简单的运算, 就可以确定方程是否有(以及有几个)正实部的根, 从而判定系统是否稳定。 以下是劳斯判据的具体内容。 设控制系统的特征方程式为 将特征方程的各项系数排成下面形式的行和列, 即为劳斯表： 表中, 一直计算到系数bi等零为止。 同样按照上述方法, 可以求出c, d, e, f 等系数, 即 劳斯表一共有n+1行。其中第n+1行仅第一列有值, 且正好是方程最后一项an。 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的充要条件是：特征方程的各项系数全部为正数，并且劳斯表中第一列所有项均为正数。系统在复平面右半平面极点的个数等于劳斯表第一列系数符号改变的次数。 ※注意 在展开的劳斯表中, 有时为了简化其后的数值运算, 可以让某一整行去除以或乘以某一正整数, 这并不改变系统的稳定性结论。 例 3 设控制系统的特征方程式为  试用劳斯判据判别系统的稳定性。  解 列劳斯表 由于该表第一列系数的符号变化了两次, 因此该方程中有两个根在复平面的右半平面, 故系统是不稳定的。 例 4 设有一个三阶系统的特征方程 式中所有系数均为正数。试证明该系统稳定的条件是a1a2＞a0a3。 证明 列劳斯表得 根据劳斯稳定判据得, 系统稳定的充要条件除特征方程所有系数均为正数外，劳斯表中第一列系数还必须均大于零。 所以有 a1a2＞a0a3 例 5 考虑图3-11所示的系统, 确定使系统稳定的K的取值范围。 图 3-11 控制系统框图 解 由图3-11可知, 系统的闭环传递函数为 所以系统的特征方程为 列劳斯表如下： 根据劳斯判据, 系统稳定必须满足 因此, 使闭环系统稳定的K值范围为 当K=14/9时, 系统处于临界稳定状态。 需要指出, 在运用劳斯稳定判据分析系统稳定性时, 有时会遇到下列两种特殊情况： (1) 在劳斯表的某一行中, 第一列元素为零, 而其余各列元素均不为零, 或部分不为零; (2) 劳斯表的某一行元素全部为零。   在这两种情况下, 两个大小相等符号相反的实根 表明系统在复平面内可能存在 两个共轭虚根 以虚轴对称的两对共轭复根, 此时，系统处在不稳定状态或临界稳定状态。 下面通过实例说明这时应如何排劳斯表。若遇到第一种情况, 可用一个任意小的正数ε代替为零的元素, 然后继续进行计算, 完成劳斯表。  例如, 系统的特征方程为 列劳斯表 因为劳斯表中第一列元素的符号改变了两次, 所以系统不稳定, 且有两个正实部的特征根。 若遇到第二种情况, 先用全零行的上一行元素构造一个辅助方程（辅助方程的最高次数总是偶数）, 再将上述辅助方程对s求导, 用求导后的方程系数代替全零行的元素, 继续完成劳斯表。  例如, 系统的特征方程为 列劳斯表 →辅助方程2s2+2=0 ←辅助方程求导后的系数 由以上可以看出, 劳