第二章静电场electrostaticfield.ppt

根据 的重新定义式可以看到： 即 由此可见， 张量的9个分量只有5个分量是独立的。 （3）几种典型的多极矩产生的场 a） 分析：体系可看成小区域（ Rl ），体系对原点而言是不对称的，总电荷为零，故没有零级近似。但是， z P(x,y,z) -q(o,o,-z′ ) o q(o,o,z′ ) l θ R r- r+ 总偶极矩不为零，即 则 Solution: 静电问题： a x y z R P(ρ,φ,z) P(ρ,φ,z) V0 此题Green函数满足的形式为 相当于无穷大金属平板旁边放置单位电荷求电势问题 其 Green函数为 其中： 换为柱坐标，且有 故Green函数为 又∵电荷密度 ，还有 故得到 因为积分面S是z=0的无穷大平面，法线沿-z方向，而 由于S上只有园内部分电势不为零，因此式子 中的积分只需对r≤a积分，即可。 故 在很远处，(R2+z2a2 )的电势可以展开成幂级数，积分的被积函数分母展开 其中 注意到cos(φ-φ)对φ一个或数个2π周期的积分为零，故 §2.6 电多极矩 Electric multipole moment 本节所要讨论的问题是：在真空中，假若激发电场的电荷全部集中在一个很小的区域（如原子、原子核内），而要求的又是空间距场源较远的场，这时可以采用多极矩近似法来解决问题。 1、多极矩的概念 对于带电体系而言，若电荷分布在有限区域V内，在V中任取一点o作为坐标原点，区域V的线度为l，场点P距o点为R。多极矩法是讨论 Rl 情况下的场分布问题。 以一个最简单的例子来说明：假设V中有一个点电荷Q，位于（a,o,o）点上，如果对远处产生的电势来说，相当于 x y z o Q a = x y z o Q + x y z o Q a x y z o Q a -Q x y z o Q 零级近似 如果作为一级近似，且 o = + o + x y z Q a x y z o Q x y z o Q a/2 -Q x y z -Q -Q Q +Q 如果作二级近似，同理得到 x y z o Q + x y z o +Q -Q 一级近似 x y z o Q a = x y z o Q + x y z o Q a/2 -Q x y z o -Q Q Q x y z o -Q -Q -Q -Q a/4 Q -Q Q Q Q x y z o x y z o + -Q Q Q a/2 二级近似 总之，移动一个点电荷到原点，对场点产生一个偶极子分布的误差；移动一个偶极子到原点，对场点产生一个电四极子分布的误差；移动一个电四极子到原点，对场点产生一个电八极子分布的误差；……。 x y z o -Q Q Q -Q -Q a/4 + 2、点电荷系的多极展开式 假定V内都是点电荷，其中第i个点电荷qi位于点A处，如图所示。 符合 Rl 的条件，P点的电势为 z x P y A qj qi qk o l 因为 令 ，则相对于原点，有 其中 表示在点o处的电荷 的电势； 表示在点o处的电偶极矩 的电势； 表示在点o处的电四极矩 的电势。 各个包含cosθ的因式就是级数的勒让德多项式Pn(cosθ)。实际上，通过这个多极子的展开式，P点的电势可写为 3、连续分布电荷体系的多极子展开式 若区域V内电荷是连续分布的，且电势为 由于源点到场点的距离远大于带电区域V的线度，故 可将对 在原点附近作泰勒级数展开。 z x P y V o ρ 在一元函数f (x)情况下，在原点x=0邻域的泰勒级数为： 如果在x=a邻域展开，泰勒级数是： 对于三元函数f (x,y,z)，在原点x=0, y=0, z=0邻域的泰勒级数是： 如果在x=a, y=b, z=c点邻域展开，且展开式为 有了以上泰勒级数展开式，把 代替f (x)，因r是 的函数，即 。把 场点固定不变。而让源点 变化，并把 在原点o附近展开，且有 因为 所以 从而得到 令 故得到 讨论展开式的每项物理意义： ▲展开式的