第六章常微分方程数值解.ppt

* 第六章 常微分方程数值解 ? 考虑一阶常微分方程的初值问题 只要 f (x, y) 在[a, b] ? R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 则存在唯一解。 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1… xn= b 处的近似值 节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解 而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解 问题： x0 x1 y(xn)将近似值yn带入，y(xn+1)近似值记为yn+1 x0 x1 欧拉公式 隐式欧拉公式 x0 x2 x1 两步欧拉公式 §1 欧拉方法 注：（显式）欧拉公式、隐式欧拉公式叫单步公式 隐式欧拉公式: 一般先用显式计算一个初值， 再迭代求解 两步欧拉公式(中心欧拉公式)：需要2个初值y0和y1来 启动递推过程 例. 解: 得 依此类推,有 xn yn 0 1.0000 0.1000 1.1000 0.2000 1.1918 0.3000 1.2774 0.4000 1.3582 0.5000 1.4351 0.6000 1.5090 0.7000 1.5803 0.8000 1.6498 0.9000 1.7178 1.0000 1.7848 y(xn) 1.0000 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321 定义 　　　在假设 yn = y(xn)，即第 n 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Rn = y(xn+1) ? yn+1 称为局部截断误差 定义 　　　若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。 ? 欧拉法的局部截断误差： 欧拉法具有 1 阶精度。 ?局部截断误差 ： ? 隐式欧拉法的局部截断误差： 即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。 ? 梯形公式 — 显、隐式两种算法的平均 注：的确有局部截断误差 ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法 ?两步 欧拉法的局部截断误差： 欧拉法具有2 阶精度。 方 法 ? ? §1 Euler’s Method 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式 两步公式 简单 精度低 稳定性最好 精度低, 计算量大 精度提高 计算量大 精度提高, 显式 多一个初值, 可能影响精度 ? 改进欧拉法 Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 Step 2: 再将 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到 或 或 注：此法亦称为预测-校正法 。可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。 改进欧拉法 例. 解: 依此类推,得 yn(欧拉) 1.0000 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803 1.6498 1.7178 1.7848 xn yn(改进) 0 1.0000 0.1000 1.0959 0.2000 1.1841 0.3000 1.2662 0.4000 1.3434 0.5000 1.4164 0.6000 1.4860 0.7000 1.5225 0.8000 1.6165 0.9000 1.6782 1.0000 1.7379 y(xn) 1.0000 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321