第四章导数的应用.ppt

第四章 导数的应用 §4.1 中值定理 §4.2 罗必达法则 §4.3 函数的单调性 §4.4 函数的极值与最值 §4.5 曲线的凹性与拐点 §4.6 函数作图的基本步骤与方法 §4.7 导数在经济中的应用 * 第四章 导数的应用 导数是研究函数性质的重要工具. 仅从导数概念出 发并不能充分体现这种工具的作用, 需要微分学的基本 定理作为桥梁. 微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、 柯西中值定理. §4.1 中值定理 定理1 (罗尔定理)设函数 ?(x) 满足下列条件: (1) 在闭区间 [a , b]上连续; (2) 在开区间 (a, b)上可导; (3) ?(a) = ?(b); 罗尔(Rolle)定理 则在(a, b)内至少存在一点ξ , 使得 b o x A B y=f(x) a y 罗尔定理的几何意义: 函数?(x)在[a, b]上的图形是连续曲线弧 AB, 如果除 端点外,处处具有不垂直于 x 轴的切线,且在闭区间[a, b] 的两个端点a与b处的纵坐标相同, 即?(a) = ?(b);此时弦 显然这些点在最高点或最低点(局部范围内)处取得, 由此启发了我们的证明思路. AB平行于 x 轴; 则在弧 AB 上至少能找到一点C(ξ? ?(ξ)), 使曲线在点 C 处的切线平行于弦AB, 即平行于x轴,从而该点C处的切线斜率为 b o x A B y = f(x) a y 证 因?(x)在闭区间[a, b]上连续, 故由第二章定理16知: ?(x)在 [a,b]上必有最大值 M 和最小值 m. 下面分两种情形讨论: (1) 若M = m, 则?(x)在[a , b]上恒为常数. 从而 o y x y=M 故在(a , b)内的每一点都可取作 ξ . 定理显然成立. (2) 若 , 而?(a) = ?(b) 从而在区间(a , b)内至少存在一点 ξ.使得?(ξ) =M 则数 M 与 m 中至少有一个不等于端点的数值, 不妨设 下面证明 因?(ξ)= M,则不论Δx0或Δx0, 恒有 当Δx 0时,有 当Δx 0时, 有 而?(x)在(a, b)内可导, 则 故必有 则对式(1)和式(2)取极限有 注1.罗尔定理中的三个条件是充分条件, 缺一不可.否 则结论不一定成立.(一般地说结论正确就需证明;否则, 只须举反例即可)用下列各图形分别说明: o y x a b y=f(x) o y x a b y=f(x) o y x a b y=f(x) ° ° ξ ξ ?(x)在[a, b]内 有间断点ξ ?(x)在(a, b)内有 不可导点ξ (尖点) 注2.罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的,如 此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均 不满足, 但是却存在 和 ξ = π, 使 o x y=f(x) y ° ? π 例1. 验证函数 在区间[–1, 2] 上满足罗尔定理的条件, 并求出满足此结论中的 ξ 值. 注3.罗尔定理是定性的结果, 它只肯定了至少存在 一个ξ , 而不能肯定 ξ 的个数, 也没有指出实际计算 ξ 的值的方法. 但对某些简单情形, 可从方程中解出 ξ . 解 因 ?(x)是一初等函数, 其定义域为 则 ?(x)在 [–1, 2] 上连续, 在(–1, 2)内存在, 即?(x)在 (–1, 2）可导. 则满足题意的点为 而?(–1) = ?(2) = 0. 即?(x)在 [– 1, 2]上满足罗尔定理 的条件.由 例2. 不求函数 ?(x) = (x–1) (x–2) (x–3) x 的导数, 说明 方程 有几个实根?并指出它们所在区间. 例3.设?(x)在[a , b]上连续, 在(a , b)内可导, 且 ?(a) = ?(b) = 0. 试证: 在(a , b)内至 少存在一点ξ , 使得 显然罗尔定理的端点条件要求太强了, 将它去掉后就有 证 则 F(x) 在[a , b]上连续, 在(a , b)内可导, 且 F(a) = F(b) = 0, 即满足罗尔定理的条件. 则在(a , b)内至少存在一点ξ , 使得 二.拉格朗日(Lagrange)中值定理 定理2 拉格朗日(Lagrange)中值定理)