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第四章 量纲分析与相似原理 本章主要介绍流体力学中的相似原理，模型实验方法以及量纲分析法。 第4章 量纲分析与相似理论 ★本章重点掌握： 量纲分析方法（瑞利法、 定理） 相似理论及其应用（相似准则、模型实验设计） §4-1 量纲分析的基本概念 一、单位与量纲 单位：表征各物理量的大小。如长度单位m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等。 量纲：表征各物理量单位的种类。如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属于质量类，用M表示。 二、基本量纲与基本物理量 1.基本量纲：具有独立性、唯一性 在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量M、长度L和时间T三个作为基本量纲。其它物理量的量纲可用基本量纲表示，如 流速 dimv＝LT－1 密度 dimρ＝ML－3 力 dimF＝MLT－2 压强 dim p=M L－1 T－1 2.基本物理量：具有独立性，但不具唯一性 在工程流体力学中，若不考虑温度变化，通常取3个相互独立的物理量作为基本物理量。 如ρ(密度)、V(流速)、d(管径)或F(力)、a(加速度)、l(长度)等。 ?基本物理量独立性判别 任何两个物理量的组合不能推出第3个物理量的量纲，即为3个物理量相互独立。 三、物理方程的量纲齐次性原理 凡是正确描述自然现象的物理方程，其方程各项的量纲必然相同。 量纲齐次性原理是量纲分析的理论基础。 工程中仍有个别经验公式存在量纲不齐次。 满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变为无量纲方程。如流体静力学基本方程 用 除其余各项，可得无量纲方程： §4-2 量纲分析法 常用的量纲分析方法有瑞利法和泊金汉法（也称π定理）。 一、瑞利法 基本思想：假定各物理量之间呈指数形式的乘积组合。 二、 π定理 应用Π定理的步骤（5步）： ① 确定影响此物理现象的各个物理量 ② 从n个物理量中选取m个基本物理量作为m个基本因次的代表。m一般为3，应使其分别具有质量因次、时间因次（运动因次）、长度因次，如ρ、V、d ③ 从三个基本物理量以外的物理量中，每次轮取一个，连同三个基本物理量组合成一个无量纲的 Π 项，一共写出 n－3 个 Π 项。 ④ 据因次齐次性求各 Π项的指数 ai，bi，ci ⑤ 写出描述物理现象的无因次关系式 §4-3 流动相似的基本概念 一. 几何相似（空间相似） 定义： 模型和原型的全部对应线形长度的 比值为一定常数 。 面积比例尺: 定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。 定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应瞬时作用在两相似几何微团上的力，作用方向一致、大小互成比例，即它们的动力场相似。 §4-4 流动相似的准则 定义：在几何相似的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。 流场中有各种性质的力，但不论是哪种力，只要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿相似准则。 1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应 点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述； 2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即 流动满足单值条件； 3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动 相似也必须满足的条件。 1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质； 2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； 3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。 §4-5 模型试验设计 一、模型律的选择 从理论上讲，流动相似应保证所有作用力相似，但一般难以实现。如仅保证重力和粘性力相似，则应同时满足弗劳德准则和雷诺准则，故有 即应按上式选择模型流体，一般难以实现；若取 即原、模型采用同oxing流体，则将导致 ，失去了模型试验的价值。 例题1 例题1 例题2 例题2 例题2 例题3 [例3] 已知溢流坝的过流量Q＝1000m3/s,若用长度比尺CL＝1/60的模型(介质相同)进行实验研究，试求模型的流量Q . 例题3 四、弹性力相似准则（马赫准则） （4-32） 若流场中的流体为气体，由于 （ c 为声速） 则弹性力之