1.4向量和矩阵的范数.ppt

第一章 绪论 1.4 向量和矩阵的范数 1.4.2 矩阵的范数及其性质 1.4.1 向量的范数及其性质 1.4 向量和矩阵的范数 学习目标： 掌握向量范数、矩阵范数等概念。 　　在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是“长度”和“距离”的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要对向量和矩阵的“大小”引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推广。 §1.4 向量和矩阵范数 范数是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广. 数域:数的集合,对加法和乘法封闭 线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘法封闭,也称为向量空间 有理数、实数、复数数域 ? 1.4.1 向量范数 ( vector norms ) 定义1.5　如果向量 的某个实值函数 满足： （1）正定性： ，且 当且仅当x=0； （2）齐次性：对任意实数 ，都有 （3）三角不等式：对任意 x，y ，都有 则称 为 上的一个向量范数。 定义1 　如果向量 的某个实值函数 满足： （1）正定性： ，且 当且仅当x=0； （2）齐次性：对任意实数 ，都有 （3）三角不等式：对任意 x，y ，都有 则称 为 上的一个向量范数。 自己证 容易验证，向量的∞范数和1范数满足定义1.5中的条件。对于2范数，满足定义1.5中的条件（1）和（2）是显然的，对于条件（3），利用向量内积的 Cauchy-Schwarz不等式可以验证。 显然 并且由于 定理1 注意:一般有向量的等价关系 例 1 求下列向量的各种常用范数 解: 1*4≤9≤9/4*4=9 定义2 如果矩阵 的某个实值函数 满足 （1）正定性： 且 当且仅当 ； （2）齐次性：对任意实数 ，都有 ； （3）三角不等式：对任意 都有 （4）相容性：对任意 ，都有 则称 为 上的一个矩阵范数 ? 1.4.2 矩阵的范数( matrix norms ) 常用的矩阵范数 例2 不难验证其满足定义2的4个条件. 称为Frobenius范数,简称F-范数. 类似向量的 2-范数 称A的F-范数. 定义3 例3 求矩阵A的各种常用范数 解: 由于 第一章 绪论