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2000年试题分析、详解和评注
2004年数学一试题分析、详解和评注
填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
(1)曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为 .
【分析】 本题为基础题型,相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。
【详解】 由,得x=1, 可见切点为,于是所求的切线方程为
, 即 .
【评注】 本题也可先设切点为,曲线y=lnx过此切点的导数为,得,由此可知所求切线方程为, 即 .
本题比较简单,类似例题在一般教科书上均可找到.
(2)已知,且f(1)=0, 则f(x)= .
【分析】 先求出的表达式,再积分即可。
【详解】 令,则,于是有
, 即
积分得 . 利用初始条件f(1)=0, 得C=0,故所求函数为f(x)= .
【评注】 本题属基础题型,已知导函数求原函数一般用不定积分。
完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题.
(3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为 .
【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分。
【详解】 正向圆周在第一象限中的部分,可表示为
于是
=
【评注】 本题也可添加直线段,使之成为封闭曲线,然后用格林公式计算,而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11,《考研数学大串讲》P122例5、例7 .
(4)欧拉方程的通解为 .
【分析】 欧拉方程的求解有固定方法,作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可。
【详解】 令,则 ,
,
代入原方程,整理得
,
解此方程,得通解为
【评注】 本题属基础题型,也可直接套用公式,令,则欧拉方程
,
可化为
完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.,《考研数学大串讲》P75例12.
(5)设矩阵,矩阵B满足,其中为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则 .
【分析】 可先用公式进行化简
【详解】 已知等式两边同时右乘A,得
, 而,于是有
, 即 ,
再两边取行列式,有 ,
而 ,故所求行列式为
【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点,而题设含有伴随矩阵,一般均应先利用公式进行化简。
完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2,P118例9
(6)设随机变量X服从参数为的指数分布,则= .
【分析】 已知连续型随机变量X的分布,求其满足一定条件的概率,转化为定积分计算即可。
【详解】 由题设,知,于是
=
=
【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再去推算。
完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是
(A) . (B) . (C) . (D) . [ B ]
【分析】 先两两进行比较,再排出次序即可.
【详解】 ,可排除(C),(D)选项,
又
=,可见是比低阶的无穷小量,故应选(B).
【评注】 本题是无穷小量的比较问题,也可先将分别与进行比较,再确定相互的高低次序.
完全类似例题见《数学一临考演习》P28第9题.
(8)设函数f(x)连续,且则存在,使得
(A) f(x)在(0,内单调增加. (B)f(x)在内单调减少.
(C) 对任意的有f(x)f(0) . (D) 对任意的有f(x)f(0) . [ C ]
【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零,一般不能推导出单调性,因此可排除(A),(B)选项,再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。
【详解】 由导数的定义,知
,
根据保号性,知存在,当时,有
即当时,f(x)f(0); 而当时,有f(x)f(0). 故应选(C).
【评注】 题设函数一点可导,一般均应联想到用导数的定义进行讨论。
完全类似例题见《数学一临考演习》P28第10题.
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