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 构造一个向量序列 两种特殊情况 二、幂法的加速 反幂法的一个应用 §2 Jacobi 方法 一、矩阵的旋转变换 二、 Jacobi方法 §3.QR方法 一、基本QR方法 8.3、豪斯豪尔德(Householder)方法 2、化一般矩阵为拟上三角阵 3、拟上三角矩阵的QR分解 五、带原点移位的QR方法 60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。 实矩阵、非奇异。 理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的。 定理（QR方法的收敛性） 可证，在一定条件下，基本QR方法产生 的矩阵序列｛A(k)｝ “基本”收敛于一个上三角 阵（或分块上三角阵）。即主对角线（或主对 角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线 （或主对角线子块）以上元素可以不收敛。特 别的，如果A是实对称阵，则｛A(k)｝ “基本” 收敛于对角矩阵。 因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵 中，主对角线子块的特征值）即为该矩阵的特 征值，故当k充分大时， A(k)的主对角元（或主 对角线子块的特征值）就可以作为A的特征值的 近似。基本的QR方法的主要运算是对矩阵QR分 解，分解的方法有多种。介绍一种Schmit正交化 方法。 基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩 阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢。因此实际 使用的QR方法是先用一系列矩阵相似变换将 A 约 化成拟上三角矩阵(称为上Hessenberg 矩阵)，然 后对此矩阵用基本QR方法。因为拟上三角矩阵具 有较多零元素，故可减少运算量。化A为相似的拟 上三角阵的方法有多种。 为了求矩阵特征值先进行初等变换把矩阵变成较简单形式 1、豪斯豪尔德(Householder)变换 幂法小结 因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖 于比值 ，当比值接近于1时，幂法收敛很慢幂法加速有多种，以下介绍两种。 反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的 最有效的方法。 三、反幂法 对上边同一例题 幂法是一种计算矩阵的按模最大的特征值 与相应的特征向量的迭代方法。 适合于大型稀疏矩阵 反幂法是计算Henssenberg阵或对角阵 的对应一个给定近似特征值的特征向量 的有效方法. §2. 幂法和反幂法. 一、幂法 且有完全的特征向量组 即 幂法的基本思想： 任意取一个非零的初始向量 由矩阵A 称为迭代向量。由此计算特征值和特征向量。 必有 主特征值 即相邻两个迭代向量分量的比值收敛到主特征值. 注意 同上讨论有 * 第八章 矩阵特征值和特征向量计算 第一节 引言 第二节 幂法及反幂法 幂法 加速方法 反幂法 第三节 豪斯霍尔德方法 正交相似变换(1) 正交相似变换(2) 第四节 QR 方法 主 要 内 容 以下是一些准备知识 工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。 8.1 引言 第八章. 矩阵特征值和特征向量计算 但高次多项式求根精度低 , 一般不作为求解方法. 目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法. 机器 求解 定理1 注 重要结论 亏损矩阵 一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵， 亏损矩阵在理论与计算上存在巨大的困难。 则 对于矩阵特征值界如何估计？ 称为 或者A的特征值都在复平面上n个圆盘的并集之中. (2)如果A的m个圆盘组成一个连通的并集S， 且S与余下的 则S内包含A的m个特征值 个圆盘是 分离的， n-m 特别：若A的一个圆盘 与其它圆盘是分离的即孤立的 中精确地包含A的一个特征值. ,则 即结论得证. 由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中， 所以D1内恰包含A的一个实特征值 由于D1是孤立的所以， 问题：如何进一步估计上面两个特征值分别在什么范围？ 解决途径：若能够改变圆盘的半径，则 有可能将圆盘进行分离，从而可进一步分析特征值的范围. 事实上，利用相似矩阵的性质，可使A的 某些圆盘半径及连通性发生变化. 具体实施? *