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2006年考研数学（三）真题 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1） （2）设函数在的某邻域内可导,且，，则 （3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分 （4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 . （5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_______. （6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] （8）设函数在处连续，且，则 (A) 存在 (B) 存在 (C) 存在 (D)存在 [ ] （9）若级数收敛，则级数 (A) 收敛 . （B）收敛. (C) 收敛. (D) 收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是 （Ａ）. （Ｂ）. （Ｃ）. （Ｄ） [ ] （11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若，则. (B) 若，则. (C) 若，则. (D) 若，则. [ ] （12）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是 若线性相关，则线性相关. 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. [ ] （13）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则 （Ａ）. （Ｂ）. （Ｃ）. （Ｄ）. ［ ］ （14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且 则必有 (B) (C) (D) [ ] 三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分） 设,求 (Ⅰ) ； (Ⅱ) . （16）（本题满分7分） 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域. （17）（本题满分10分） 证明：当时， . （18）（本题满分8分） 在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）. (Ⅰ) 求的方程； (Ⅱ) 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值. （19）（本题满分10分） 求幂级数的收敛域及和函数. （20）（本题满分13分） 设4维向量组 ，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分13分） 设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解. (Ⅰ)求的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵和对角矩阵,使得； （Ⅲ）求及，其中为3阶单位矩阵. （22）（本题满分13分） 设随机变量的概率密度为 ， 令为二维随机变量的分布函数. (Ⅰ)求的概率密度； (Ⅱ)； (Ⅲ). （23）（本题满分13分） 设总体的概率密度为 其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数. （Ⅰ）求的矩估计； （Ⅱ）求的最大似然估计 2006年考研数学（三）真题解析 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1） 【分析】将其对数恒等化求解. 【详解】， 而数列有界，，所以. 故 . （2）设函数在的某邻域内可导,且，，则 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，，两边对求导得 ， 两边再对求导得 ，又， 故 . （3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为， ，