“尚未成功”的突破.doc

“尚未成功”的突破 坦率说,在我个人的解题经历中,“尚未成功”乃至失败,实在是比激动人心的成功多得多.但是,“尚未成功”并非只给笔者留下消极的结果,而面对偶尔的顺利笔者也总是要继续寻找当中的“解题愚蠢”(见文[1]、[2]),我不知道这些说来见笑的个人体验是否对广大读者有点帮助,但我能肯定地说,这是我本来就少得可怜的解题财富中的主要资产,并且我的看法(包括本刊1998年开始的解题分析连载以及《数学解题学引论》一书)已引起了一部分同行的关注与共鸣,需要致歉的是,二三年来,关于解题与解题分析的大批读者来信我不能一一作复,今天的话题很大程度上是一种有意的弥补.下面,笔者要进行3个解题个案的分析,以展示如何由失败走向成功,又如何对浅层的成功进行深层的调控.; 1.个案1—由失败中获取有用的信息; 例1 若a、b、c为互不相等的实数,且x/(a-b)=y/(b-c)=z/(c-a),求x+y+z.; 解:由等比定理得 ; x/(a-b)=y/(b-c)=z/(c-a); ①; =(x+y+z)/[(a-b)+(b-c)+(c-a)].; ②; 但是,②式的分母为零; (a-b)+(b-c)+(c-a)=0,; ③; 我们的解题努力失败了.; 评析:这是一个失败的解题案例,文[3]谈到了调整解题方向后的一些处理,其实都用到③式.所以,失败的过程恰好显化了题目的一个隐含条件,这是一个积极的收获,当我们将不成功的②式去掉,把目光同时注视①式与③式时,①式使我们看到了两条直线重合:; xX+yY+z=0,; ④; (a-b)X+(b-c)Y+(c-a)=0.; ⑤; 而③式又使我们看到了直线⑤通过点; X=1,; Y=1.;  作一步推理,直线④也通过点(1,1),于是; x+y+z=0.; 与文[3]相比,这是一个不无新意的解法,其诞生有赖于两点:; 第1,从失败的解题中获取一条有用的信息,即③式.; 第2,对①式、③式都作“着眼点的转移”,从解析几何的角度去看它们.; 有了这两步,剩下来的工作充其量在30秒以内就可以完成.; 2.个案2—尚未成功不等于失败; 设f(n)为关于n的正项递增数列,M为大于f(1)的正常数,当用数学归纳法来证不等式; f(n)lt;M(n∈N); ①; 时,其第2步会出现这样的情况:假设f(k)lt;M,则; f(k+1)=f(k)+a(a=f(k+1)-f(k)gt;0)lt;M+a,; ②; 无法推出f(k+1)lt;M.; 据此,许多人建议,用加强命题的办法来处理,还有人得出这样的命题(见文[4]P.32及文[5]P.12):; 命题 设{f(n)}为关于n的正项递增数列,M为正常数,则不等式f(n)lt;M(n∈N)不能直接用数学归纳法证明.; 评析:不等式①没能用递推式②证出来,有两种可能,其一是数学归纳法的功力不足,其二是数学归纳法的使用不当.把“不会用”当作“不能用”,其损失是无法弥补的.; 我们分析上述处理的“尚未成功”,关键在于递推式②,这促使我们思考:f(k+1)与f(k)之间难道只有一种递推关系吗? ; 确实,有的函数式其f(k+1)与f(k)之间的关系很复杂,无法用数学归纳法来直接证明;而有的关系则较简单,仅用加减乘除就可以表达出来.但无论是“很复杂”还是“较简单”,其表达式都未必惟一,文[6]P.278给出过一个反例,说明上述“命题”不真:; 例2 用数学归纳法证明 ; f(n)=1+(1/2)+(1/22)+…+(1/2n-1)lt;2.; 讲解:当n=1时,命题显然成立.; 现假设f(k)lt;2,则; f(k+1)=f(k)+(1/2k)lt;2+(1/2k),; 由于2+(1/2k)恒大于2,所以数学归纳法证题尚未成功.; 然而,这仅是“方法使用不当”.换一种递推方式,证明并不困难.; f(k+1)=1+(1/2)f(k)lt;1+(1/2)×2=2.; 下面一个反例直接取自文[4]的例2.; 例3 求证(1/1!)+(1/2!)+(1/3!)+…+(1/n!)lt;2.; 证明:当n=1时,命题显然成立.; 假设n=k时命题成立,则; (1/1!)+(1/2!)+…+(1/k!)+[1/(k+1)!]; =1+(1/2)+(1/3)·(1/2!)+…+(1/k)·[1/(k-1)!]+[1/(k+1)]·(1/k!)lt;1+(1/2){1+(1/2!)+…+[1/(k-1)!]+(1/k!)}lt;1+(1/2)×2=2.; 这表明n=k+1时命题成立.; 由数学归纳法知,不等式已获证.; 3.个案3—对尚未成功的环节继续反思; 文[7]有很好的立意也有很好的标题,叫做“反思通解·引出简解·创造巧解”,它赞成反思“失败”并显示了下面一道二次函数题目的调控过程:; 例