ch2随机信号分析.doc

第二章习题 习题2.1 设随机过程X(t)可以表示成： 式中，是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(=0)=0.5，P(=/2)=0.5 试求E[X(t)]和。 解：E[X(t)]=P(=0)2+P(=/2) 习题2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成： 判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：为功率信号。 习题2.3 设有一信号可表示为： 试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为： 则能量谱密度 G(f)== 习题2.4 X(t)=，它是一个随机过程，其中和是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为。试求： (1)E[X(t)]，E[]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3) 解：(1) 因为相互独立，所以。 又因为，，所以。 故 (2)因为服从高斯分布，的线性组合，所以也服从高斯分布，其概率分布函数。 (3) 习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)； (2)； (3) 解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。 习题2.6 试求X(t)=A的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。 解：R(t，t+)=E[X(t)X(t+)] = 功率P=R(0)= 习题2.7 设和是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为。试求其乘积X(t)=的自相关函数。 解：(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[] == 习题2.8 设随机过程X(t)=m(t)，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为 (1)试画出自相关函数的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度和功率P。 解：(1) 其波形如图2-1所示。 图2-1信号波形图 (2)因为广义平稳，所以其功率谱密度。由图2-8可见，的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此 习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =。试求此信号的自相关函数。 解：x(t)的能量谱密度为G(f)== 其自相关函数 习题2.10 已知噪声的自相关函数，k为常数。 (1)试求其功率谱密度函数和功率P；(2)画出和的曲线。 解：(1) (2)和的曲线如图2-2所示。 图2-2 习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数： 试求X(t)的功率谱密度并画出其曲线。 解：详见例2-12 习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为 试求其平均功率。 解： 习题2.13 设输入信号 ，将它加到由电阻R和电容C组成的高通滤波器（见图2-3）上，RC＝。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。 解：高通滤波器的系统函数为 H(f)= 输入信号的傅里叶变换为 X(f)= 输出信号y(t)的能量谱密度为 习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=式中，为常数。试求该线性系统的传输函数H(f). 解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=,所以H(f)=Y(f)/X(f)=j 习题2.15 设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。 解：参考例2-10 习题2.16 设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为的高斯白噪声时，试求 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。 解：(1)LC低通滤波器的系统函数为 H(f)= 输出过程的功率谱密度为 对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为 输出亦是高斯过程，因此 习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。 解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由2.15题可知E(y(t))=0 , 所以输出噪声的概率密度函数 习题2.18设随机过程可表示成，式中是一个离散随变量，且，试求及。 解： 习题2.19设是一随机过程，若和是彼此独立且具有均值为 0、方差为的正态随机变量，试求： （1）、； （2）的一维分布密度函数； （3）和。 解： （1）