东北大学线性代数第五章课后习题详解特征值与特征向量.doc

基本教学要求： 理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量. 了解相似矩阵的概念和性质. 了解矩阵对角化的充分必要条件和对角化的方法. 会用正交矩阵把实对称矩阵相似对角化. 第五章 矩阵的特征值与特征向量 一、矩阵的特征值与特征向量(P107) 1. 定义 定义5.1 设A为n阶矩阵，如果存在数λ0和非零向量ξ，使得 Aξ=λ0ξ，λ0是A的特征值，ξ是A的属于特征值λ0的一个特征向量. 特征值与特征向量的含义： 非零向量ξ使Aξ=λ0ξ (λE-A)x=ο有非零解ξ det(λ0E-A)=0 λ0是方程det(λE-A)=0的根 定义5.2 设A为n阶矩阵，称行列式det(λE-A)为矩阵A的特征多项式，det(λE-A)=0为矩阵A的特征方程. 易见，若A=diag(λ1,λ2,…,λn)，则λ1,λ2,…,λn是A的全部特征值. 2. 求特征值与特征向量的步骤 步骤1：计算A的特征多项式det(λE-A)； 步骤2：因式分解det(λE-A)，求出全部特征值λ1,λ2,…,λn； 步骤3：解齐次线性方程组(λiE-A)x=ο(i=1,2,…,n)，求属于λi的特征向量. 例5.1(例5.1 P108) 例5.2(例5.2 P109) 两例说明，不同的矩阵可以有完全相同的特征值. 例5.3(例5.3 P110) 这是一种类型题 3. 特征值与特征向量的性质(P110) 性质5.1 设λ1,λ2,…,λn是n阶矩阵A. (5.3) 其中a11+a22+…+ann称为矩阵A的迹. (性质5.1 P110) 推论 矩阵AA的特征值都不为零. (推论 P110) 性质5.2 设λ是矩阵A的特征值，ξ是A的属于λ的特征向量，p(x)是关于x的多项式，则p(λ)是矩阵p(A)的特征值，ξ是p(A)属于特征值p(λ)的特征向量. (性质5.2 P110) 例5.4(例5.4 P111) 设三阶矩阵A的特征值是1,2,3，求行列式|A*-3A+2E|. 解 A(A*-3A+2E)=|A|E-3A2+2A =-3A2+2A+6E |A*-3A+2E|=|-3A2+2A+6E|/|A| =(-3×12+2×1+6)(-3×22+2×2+6)(-3×32+2×3+6)/6 =5×(-2)×(-15)/6=25. 注意：如果A不可逆，在本题的条件下是不能计算|A*-3A+2E|的. 性质5.3 设λ1,λ2,…,λs是矩阵A的互异特征值，ξ1,ξ2,…,ξs是分别属于它们的特征向量，那么ξ1,ξ2,…,ξs线性无关. (性质5.3 P111) 性质5.4 设λ1,λ2是矩阵A的两个互异的特征值，ξ1,ξ2,…,ξs和η1,η2,…,ηt分别是属于λ1,λ2的线性无关的特征向量，那么ξ1,ξ2,…,ξs,η1,η2,…,ηt线性无关1,k2,…,ks和l1,l2,…,lt使 k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs+l1η1+k2η2+…+ktηt=ο. (1) 令ξ=k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs，η=l1η1+k2η2+…+ktηt，ξ,η分别是λ1,λ2的特征向量ξ≠ο，则η=-ξ≠ο，那么由已知条件可知，k1,k2,…,ks与l1,l2,…,lt都不全为零，但ξ+η=ο却与性质5.3矛盾.矛盾说明ξ=η=ο，式(1)成立当且仅当k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0，即ξ1,ξ2,…,ξs,η1,η2,…,ηt线性无关A的全部互异特征值的所有线性无关的特征向量都是线性无关的. (P112) 二、矩阵相似对角化(P112) 1. 定义 定义5.3 设A,B为n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使 P-1AP = B， 则称B是A的相似矩阵，或称A与BP-1AP是对A做相似变换，P是把A变为BA相似B P,P-1AP=B. 2. 矩阵相似的性质 定理5.1 相似矩阵有相同的特征值. (定理5.1 P112). 证 因为A相似B P,P-1AP=B，所以 det(λE-B)=det(λE-P-1AP)=det[P-1(λE-A)P] =det(P-1)det(λE-A)det(P)=det(λE-A). 从而A与B有相同的特征值. 定理5.1 的逆命题不成立.例如，与的特征值相同，但它们不相似. 推论1 若A与对角矩阵diag(λ1,λ2,…,λn)相似，则λ1,λ2,…,λn是A的n个特征值. (推论 P112) 推论2 若A与B相似，则det(A)=det(B). 推论