多重积分计算方法探索.doc

华 北 水 利 水 电 大 学 　　题目：多重积分计算方法探索 课　程　名　称： 高等数学（２） 专　业　班　级： 成　员　组　成： 　　　　 联　系　方　式： 　　　　　　　　 ２０１３年６月１０日　　　 摘 要 　　本文介绍了几种重积分的计算方法，着重从直角坐标的计算、极坐标以及球面坐标等方法阐述重积分的计算。 重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数推广为二元函数和三元函数;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着相当广泛的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，我结合前人的经验，在这里系统介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。 关键词 二重积分，三重积分，n重积分，对称法，极坐标 引　言 　　微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。 微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。 X((型区域( D ( (1(x)(y((2(x)( a(x(b ( Y ((型区域( D ( (1(x)(y((2(x)( c(y(d ( 　 例1：计算( 其中D是由直线y(1、x(2及y(x所围成的闭区域） 【解法一】把D看成是X((型区域( 1(x(2( 1(y(x ( 于是 ， 【注】积分还可以写成( 【解法二】也可把D看成是Y((型区域( 1(y(2( y(x(2 ( 于是 ( 2(利用极坐标计算二重积分 有些二重积分( 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便( 且被积函数用极坐标变量( 、( 表达比较简单( 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分( 若积分区域可表示为 D:( 1(()(((( 2(()( (((((( 则 ( ( 例２：求球体x2(y2(z2(4a2被圆柱面x2(y2(2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积( 【解】由对称性( 立体体积为第一卦限部分的四倍( ( 其中D及x轴所围成的闭区域( 在极坐标系中D可表示为 0(((2a cos( ( ( 于是 二、二重积分的计算技巧 1.改变累次积分的次序计算二重积分 有些题目若把积分区域视为X型积分比较困难，甚至积不出来，但视为Y型区域就好积多了。化累次积分时，除了看积分区域外还应看被积函数。 例３：计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域. 【解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以把D视为Y型区域 . 2.分割积分区域计算二重积分 　　绝对值函数、分段函数、取整函数，max()，min()往往在积分区域的不同部分有不同的取值，应根据被积函数合理分割积分区域，以正确计算积分 例４：设，表示不超过的最大整数. 计算二重积分 【解】令， . 则 = = 3.利用函数的奇偶性化简二重积分 设函数在区域D上连续，则 （1）如果关于是奇函数，并且D关于Y轴对称,则； （2）如果关于是偶函数，并且D关于Y轴对称,则 。 评论：还有两条类似的结论，（1）能简化二重积分的计算。 例５：设区域， 计算二重积分 【解】 积分区域如右图所示.因为区域关于轴对称， 函数是变量的偶函数， 函数是变量的奇函数.则 ， 故　. ４二重积分在几何上的应用 例６： 求球面所围（包含原点那一部分）的体积 【解】： 其中D为