2.4.1反函数.ppt.pptVIP

某物体做匀速直线运动，速度为3米/秒，t表示时间（秒），s表示位移（米） 表2：t= s ② 问题：观察这两个表达式s=3t ① 和t=1/3 s ②有何异同？ 不同之处： 反函数的定义 一般地，函数y=f(x)(x∈A)中，设它的值域为C。我们根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出。得到x=ψ(y)。如果对于y在C中的任何一个值，通过x=ψ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么， x=ψ(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数。这样的函数x=ψ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作： x=f-1(y) 但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此对调函数x=f-1(y)中的字母x，y，把它改写成y=f-1(x)。 今后，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。 几点说明 1、对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数。如果有反函数y=f-1(x)，那么原来函数y=f(x)也是反函数y=f-1(x)的反函数，它们互为反函数。 求反函数的步骤 例题 1、y=3x-1 (x∈R) 2、y=x3+1 (x∈R) 3、y= +1 (x≥0) 4、 y=x2(x∈R) 5、 y= (x∈R且x≠-1) x2+2x (x≥0) 6、 y= -x2+2x (x0) 小结 本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。 * §2.4.1 反函数（一） s …… 5 4 3 2 1 t t …… 5 4 3 2 1 s 表1： 表2： 3 6 9 12 15 …… 1 …… 表1：s=3t ① 在①中，t是自变量，s是t的函数； 在②中，s是自变量，t是s的函数。 相同之处： ①、②式中的t、s表示相同的量，只是地位不同。 除此之外，②式的表达式可由①式的表达式变换而得到，即在①中求出t即可。这时，我们就说②式是①式的反函数。 2、反函数也是函数。由映射概念可知，反函数也是一种映射。如果函数y=f(x)是定义域集合A到值域集合C的映射，那么它的反函数y=f-1(x)是集合C到集合A的映射。 3、反函数的定义域与值域应该正好是原来函数的值域与定义域。 4、互为反函数的两个函数如果有解析式，一般是不同的。 A C 值域 C A 定义域 反函数y=f-1(x) 函数y=f(x) 1、确定原来函数的值域，也就是反函数的定义域； 2、将函数y=f(x) 看作方程，解出x=f-1(y)； 3、将x=f-1(y)中的字母x、y对调得y=f-1(x)，并指出反函数的定义域。 注1、由题3知，在原函数的定义域内必须存在y→x的单值对应，这是反函数存在的前提。 注2、由题5知，有些函数的反函数是原来函数本身。 注3、由题6知，求分段函数的反函数时，先在各段求出相应的反函数，再将其合并。 *