结构化学量子力学基础.ppt

最简单的波——简谐行波的数学描述 一般波的数学描述：应用波的叠加原理 例：将下列波函数归一化： 自共轭算符的性质：（书中未明确写出但用了） 定态Schrodinger方程为 （1）Schrodinger方程及其解 箱外： 箱内： 其特征根方程为 （4）自共轭算符 定义：满足如下关系的算符为自共轭算符： 例：证明下列算符是自共轭算符 从证明过程可以看出，如果上例算符中没有虚数i，那么单独的求一阶导数运算不是自共轭算符。 证明 例：如果A和B都是自共轭算符，AB不对易即AB≠BA，证明：AB不是自共轭算符。 由自共轭算符的定义，将Bg看作一个函数，那么根据A是自共轭的，那么 再将Af看作一个函数，那么根据B是自共轭的，那么 从此例可以看出，虽然A和B都是自共轭算符，但是他们的乘积一般不是自共轭算符。但是，如果AB=BA，即A和B对易，那么AB和BA都是自共轭算符。 证明：题目要证的是 (1)自共轭算符的本征值都是实数。 (2)自共轭算符的属于不同本征值的本征函数正交，而属于同一个本征值的多个本征函数可以用Schmidt方法，让它们正交。 关于自共轭算符的所有内容必须掌握。 (3)一个线性自共轭算符的所有正交归一的本征函数构成完备集。 A. 厄米算符本征值是实数 同取共轭 由厄米算符定义式 因此 a=a* ，即 a 必为实数（只有实数的共轭才与其自身相等）。 正交归一性: δij 称为克罗内克尔—得尔塔(Kronecker delta) 记号。δij的值要么为0，要么为1。 对氢原子波函数，必然存在 和 例7 B. 厄米算符本征函数系构成正交归一化的完备集 完备性： 厄米算符本征函数系的完备性是指任一与该函数系服从同样边界条件的合格波函数Ψ可以表示成它们的线性组合，即 体系的任何状态Ψ均可以用各本征函数的迭加来表示。例如，1s和2s态的线性组合也可能是体系的一种状态，这就是态迭加原理的基础。 B. 厄米算符本征函数系构成正交归一化的完备集 假设II包含四重含义： 2. 物理量的取值一定是对应这个物理量的线性自轭算符的本征值。（这条书中未明确写出但用了） 1. 每一个描写微观体系的物理量，都有一个对应的线性自共轭算符。 例：氢原子的能量只能取如下形式的值： 它们实际上就是氢原子能量算符的本征值。 微观体系的每个可观测量的力学量A，均与一个线性厄米算符 相对应。 若 成立，则此状态下该力学量A具有确定的值a。 a称为算符 的本征值, ?是属于算符 ，具有本征值为 a 的本征函数。 称方程为本征方程。 若 ，则?描述的状态不具有确定的值。可通过下式求其平均值（非本征态力学量的平均值）： 3. 体系处于状态Y（已归一化），将Y按照物理量A的正交归一化本征函数展开，即 测量物理量A时，得到ai的概率为|ci|2。（这条书中也未明确写出但用了） 推论：在状态Y下，物理量A的平均值为： 其中ai和ci与第3点中的相同。 例：氢原子的能量本征函数由1s,2s,2px……等轨道组成，如果某氢原子目前的状态由下面波函数表示 那么，测量其能量时，有36%的可能性发现其处于基态，64%可能性处于第一激发态。一次测量，只能得到两者中的一个，而且不会出现其它值。 测量完后，氢原子的状态就确定了。如果测量时，你测得是基态，那么测量后，氢原子就处于基态了。如果有多个这样的氢原子，那么对他们进行测量，就可以按相应的概率得到基态和第一激发态。 表9-2 各种力学量所对应的算符 坐标 坐标2 动量 ? 动量2 算 符 力学量 表9-2 各种力学量所对应的算符 角动量 角动量2 动能 位能 能量 算 符 力学量 能量算符又称为哈密顿算符。 经典力学中的物理量都可以表示为坐标和动量的函数，对应在量子力学中，这些物理量的算符只要将坐标和动量都用算符表示就可以了。 有些物理量只有量子世界才有，这些物理量的算符一般不能表示为坐标的函数，比如：电子的自旋角动量 但是这样的对应并不一定是唯一的，比如： 此时，只能通过实验确定哪种对应是正确的抑或是所有这些可能性的一种组合。 4. 一个粒子在直角坐标系下的坐标和动量的算符满足关系式： 其中方括弧称为对易子，定义为： 不同粒子的坐标和动量算符都对易。 可以证明，在直角坐标系下， 比较上式两端，即有 的来源 一维方向运动的自由粒子 不同维数的空间中，能量算符的写法： 1. 一维空间：只有一个方向，不存在转动，所以角动量无意义。比如：在一个方向震动的弹簧。 2. 三维空间：有三个方向，有转动，所以角动量总是