近似正交设计.ppt

一些新的2-3混合水平的近似正交设计 陆璇 谢描 清华大学数学科学系 正交设计的优点 因子的主效应的估计之间是相互独立的。 有效性(D-和Ds-等)达到最大。 对于强度为t的正交设计，当投影到任一只包含t个因子的子模型时，构成完全试验的若干次重复。（ 保证任一包含t个因子的子模型可以完全分析。） 数据分析（参数估计、假设检验等）简单易行。 使用正交设计时遇到的问题 对试验次数的要求非常严格 某些正交设计是不饱和的 强度高于2的正交设计很少 混合水平的正交设计不多 以上问题限制了正交设计的实用价值 一个例子 考虑一个试验，要考察7个三水平因子，假定：1）所有的交互效应都不存在；2）受条件限制，最多只能作15次试验。 显然，正交设计的条件不满足。（最小的正交设计需要作18次试验。） 近似正交设计的提出是由于实践的需要。 近似正交设计的一些文献 J.C.Wang C.F.J Wu (1992), Nearly Orthogonal Arrays with Mixed Levels and Small Runs Nam-Ky Nguyen (1996), A Note on the Construction of Near-Orthogonal Arrays with Mixed Levels and Economic Run Size Chang-Xing Ma Kai-Tai Fang Erkki Liski (2000), A New Approach in Construction Orthogonal and Nearly Orthogonal Arrays“ Hong Quan Xu (2002), An Algorithom for Constructing Orthogonal and Nearly Orthogonal Arrays with Mixed Levels and Small Runs“ Lu, Fang, Xu and Yin (2002), “Balance Pattern and BP-optimal Designs” (HKBU Technical Report) 近似正交设计应满足的性质 t-投影性质：对于强度为t的近似正交设计，当模型投影到任一个只包含t个因子的子模型时，包含一个完全试验。（保证任一个包含t个因子的子模型是可以完全分析的。） 近似正交性质：对于强度为t的近似正交设计，任意t个因子之间在一个适当的度量下偏离正交性最少。 高的有效性: 如D有效性。 其它性质：如不正交列对的数目（用于存在不饱和正交设计的场合）。 强度为t 的近似正交设计：NOA(n,2k3l,t) 偏离正交性的度量 设计: D(n,2k3l) 偏离强度t的正交性的度量B(t)：任意t个因子之间的各种水平组合出现的次数偏离平均值的平均平方和。 B(t)越小越好。 （一般性的定义见：Lu,Fang, Xu and Yin (2002), HKBU technical report） 例：一个D(6, 2231)的B(2) B12(2)=6(1-1)2=0 B13(2)=2(1-1)2+2(2-1)2 +2(0-1)2=4 B23(2)=2(1-6/4)2 +2(2-6/4)2=1 B (2)=[B12(2)+ B13(2) + B23(2)]/3=5/3 关于B(t)的一些理论结果 Lu,Fang, Xu and Yin得到了B(t)的两个下界. 其中一个与设计的行之间的Hamming距离有关，称为“基于行的下界”。 当行之间的Hamming距离都相等时，对所有的t=1,2,… B(t)达到此下界。达到此下界的因子设计对应着一个可分解的平衡不完全区组设计(RBIBD)。 这类设计包括：饱和的正交设计，最优的超饱和设计。 [类似的结果：Lu, et al, (2003), JSPI, Fang, et al, (2000). （在超饱和设计的构造方面）] 关于B(t)的一些理论结果（续） 另一个下界是：当任意t个因子之间的各种水平组合出现的次数最多只相差1时， B(t)的值。此下界称为“基于列的下界”。 当此下界达到，同时设计满足t-投影性质（任意t个因子之间的各种水平组合至少出现一次）时，设计最接近于强度为t的正交设计，从而具有最高的有效性。 构造方法 基本算法：最小化B(t)，采用在设计构造中常用的“列-对”置换法。基本步骤如下： Step 1：产生一个初始设计D0， Step 2：选D0中一列，当它去掉后B(t)减小幅度最大， Step 3：对此列中的元素作随机置换，使B(t)达到最小，记设计为D1， Step 4：对D1重复Step 2, 3，