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库恩-塔克定理在微观经济学中的应用 葛 结 根 （中南财经政法大学经济学院 武汉 430060） 摘要 在经济学的许多问题中，需要运用不等式约束条件，而数学规划中的库恩-塔克定理是解决这些问题的恰当形式。库恩-塔克定理主要讨论原问题与库恩-塔克条件之间的关系，即研究原问题的最优解与满足库恩-塔克条件的点之间的关系。本文就微观经济学中的几个重要问题说明库恩-塔克定理的应用。 关键词 库恩-塔克条件 成本最小化 纳什均衡 委托——代理问题 成本最小化问题 成本最小化问题是在给定产出水平的条件下，找到一种按最小成本生产的方法。我们以线性技术的成本函数来说明库恩-塔克定理的具体应用。假定生产函数，要素1和要素2可以完全替代，因此，成本函数会采取如下形式： 其中，和为两种要素的价格，为产量。 为表述上的方便，我们令。此时，最小化问题为 该问题的拉格朗日函数可写作 库恩-塔克一阶条件为 互补性松驰条件为 ；，若 ；，若 现在要考察不等式约束起作用或不起作用的各种情形： ①，。此时，除非，否则条件不能得到满足。 ②，。。由一阶条件可得：，，故当时，这种情况便会出现。因为，所以。 ③，。用类似②中的方法可推出，其条件是。 ④，。，。这时，一阶条件给出：。 如果起作用或不起作用的约束有N种，那么就会有2N种可能的最优构造。因此，必须考察每一个约束，以证实是否与代表潜在的最优解所要求的每个条件都相容。 纳什均衡解 纳什均衡是关于行动和信念的均衡，在均衡状态中，（1）信念正确；（2）每一局中人不断选择战略，以便在给定信念下，最大化自己的期望效用。 假定有两家厂商A和B，从事相互关联的两个项目，其采取的策略和支付矩阵如下表： 除 合作 不合作 合作 2，1 0，0 不合作 0，0 1，2 首先我们可找出纯战略中的纳什均衡，它包括对各种战略选择的最好反应（在某种程度上）的系统检验。若A厂商推测B厂商采取合作策略，A厂商合作将得到利润2，不合作会得到利润0，故合作是A厂商对B厂商执行合作策略的最好反应。另一方面，若A厂商采取合作策略，则B厂商的最优反应是执行合作策略。因此，（合作，合作）是一个纳什均衡。类似地，（不合作，不合作）也是一个纳什均衡。 现在用最优化来解决这个博弈问题。令为A厂商执行合作和不合作策略的概率，为B厂商执行合作和不合作策略的概率，则当事人A厂商的最大化问题为 令、、为约束条件的库恩-塔克乘子，此时，拉格朗日函数为 库恩-塔克条件为 由于我们已经找出纯战略解，即已经考虑和的情况。故现在只需考虑和的情况。由附加的松驰条件可知，，。又因为，，时，A厂商发现其执行混合战略是最优的。将混合战略数值代入目标函数可计算出A厂商此时得到的期望支付为。 同样，对于B厂商而言，执行混合战略是最优的，得到的期望支付也是。 比较混合战略与纯战略，显然，两个厂商更倾向于选择一个纯战略，因为每一厂商都从纯战略中获得更高的支付。 委托——代理问题 在预测到合同签订后可能发生信息不对称的情况下，签约双方谋求设计一种可以减轻由此带来麻烦的合同。这种情况是当一个人聘用另一个人作为他的代理人，并由代理人替他采取行动时所特有的。因此，委托——代理问题主要是指合同设计问题。 可以纳入委托——代理问题分析框架的经济关系范围十分广泛，如所有者与管理者，保险公司与投保人，银行与借款者等等。我们将集中讨论所有者——管理者问题。所有者想诱导管理者从事有代价的某种活动。所有者可能难以直接观察到管理者的活动，但却能观察到至少部分地是由管理者的活动所决定的某一产出。在这种情况下，所有者的问题是设计出一种所有者给予管理者的有激励性的报酬，以诱导管理者采取被所有者认为是最好的行动。信息不对称问题一般分为两类，一类由隐藏行动引起；另一类由隐藏信息引起。我们将考虑隐蔽行动这种情形，并把委托——代理环境设定在委托人处于垄断状态，这种设定会对模型中的两个问题产生影响：一是代理人的保留效用水平是外生的，即它一般是与某一不相关的活动相联系的效用；二是委托人可获得利润的最大值是该问题的目标函数。 委托——代理问题的核心是设计最优激励方案。因此，首先要确定引致每一种可能行动的最优激励方案，然后比较这些方案对委托人的效用，以便委托人知道哪种方案花费最小。 为便于分析，我们将作出几个假设。（1）存在有限个可能的产出水平。（2）代理人可采取两种行动，和，它们影响各种产出出现的概率。并令为代理人选择行动时产出水平被观察到的概率，为