论如何利用“五点法”求ω和φ值.doc

论如何利用“五点法”求ω和φ值 ; 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,Agt;0,ωgt;0)的部分图象,求ω和φ值,是高考数学的一个热点,也是学生的一个难点、易错点.本文就如何利用“五点法”来求ω和φ值作一些探析,供大家参考.; 课本中,把“五点法”中的横坐标为0,πD2,π,3πD2,2π的五点分别叫做第一点、第二点、第三点、第四点、第五点.; 由“五点法”知(从左到右):; 第一点是图象继续上升且与x轴相交的点;; 第二点是图象开始下降且与x轴不相交的点;; 第三点是图象继续下降且与x轴相交的点;; 第四点是图象开始上升且与x轴不相交的点;; 第五点是图象继续上升且与x轴相交的点.; 当我们要画出函数y=Asin(ωx+φ)(Agt;0,ωgt;0)的简图时,我们会把ωx+φ看成一个整体,分别令ωx+φ=0,πD2,π,3πD2,2π,求出相应x的值,通过列表,确定顺序的五个点,然后作出函数的简图.根据这种做法,有下列结论:; 若(x0,0)是第一点,且sin(ωx0+φ)=0,则ωx0+φ=0;; 若(x0,1)是第二点,且sin(ωx0+φ)=1,则ωx0+φ=πD2;; 若(x0,0)是第三点,且sin(ωx0+φ)=0,则ωx0+φ=π;; 若(x0,—1)是第四点,且sin(ωx0+φ)=—1,则ωx0+φ=3πD2;; 若(x0,0)是第五点,且sin(ωx0+φ)=0,则ωx0+φ=2π.; 由上述可知,只要知道函数f(x)的一个最小正周期内的五点中的任意两点,就可以求ω和φ值.; 例1(2011年高考江苏卷·文9理9)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,Agt;0,ωgt;0)的部分图象如图1所示,则f(0)的值是.; 解析易知A=2,; 由周期T=2πDω=4(7πD12—πD3)得ω=2,; 所以f(x)=2sin(2x+φ).; 下面我们来求φ值.; 思路1(“五点法”) 把点(πD3,0)代入f(x)=2sin(2x+φ),得sin(2πD3+φ)=0.; 因为点(πD3,0)是“五点法”中的第三点,所以由sin(2πD3+φ)=0,得; 2πD3+φ=πφ=πD3.; 故而f(0)=2sinπD3=6D2.; 思路2(“五点法”)把点(7πD12,—2)代入; f(x)=2sin(2x+φ),; 得sin(7πD6+φ)=—1.; 因为点(7πD12,—2)是“五点法”中的第四点,所以由sin(7πD6+φ)=—1,得; 7πD6+φ=3πD2φ=πD3.; 故而f(0)=2sinπD3=6D2.; 思路3(常规方法); sin(2πD3+φ)=02πD3+φ=kπ; φ=kπ—2πD3(k∈Z).; 所以f(0)=2sin(kπ—2πD3)=±6D2.; 由图知,f(0)gt;0,; 于是f(0)=6D2.; 思路4(常规方法); sin(7πD6+φ)=—1; 7πD6+φ=—πD2+2kπ; φ=—5πD3+2kπ(k∈Z).; 所以f(0)=2sin(2kπ—5πD3)=6D2.; 点评(1)在此题中,没有限制φ的取值范围,所以φ值有无穷个,如φ=kπ—2πD3(φ=—5πD3+2kπ)(k∈Z).; 但是,在做选择题或填空题时,用“五点法”求φ值,简便、速度快、正确率高.; (2)若此题对φ没有限制,而用思路1、思路2求出φ,可分别改写为; 2πD3+φ=π+2kπ、; 7πD6+φ=3πD2+2kπ(k∈Z).; 例2(1990年高考)已知图2是函数y=2sin(ωx+φ)(|φ|lt;πD2)的图象,那么; A.ω=10D11,φ=πD6B.ω=10D11,φ=—πD6; C.ω=2,φ=πD6D.ω=2,φ=—πD6; 解析把点(0,1)代入y=2sin(ωx+φ),得sinφ=πD2.; 因为点(0,1)介于“五点法”中的第一点和第二点之间,; 所以φ=πD6,y=2sin(ωx+πD6).; 再把点(11πD12,0)代入y=2sin(ωx+πD6),; 得sin(11πD12·ω+πD6)=0.; 因为点(11πD12,0)是“五点法”中的第五点,; 所以11πD12·ω+πD6=2π,; 解得ω=2,故选C.; 点评(1)小小的一道选择题,当年难倒了许多考生(笔者当年所教的学生恰好参加高考).时过二十一个春秋,现在回过头来看看此问题,难,谈不上;易错,是真.是一道经典的好题!很有代表性,到现在也没有过时. 1 / 1 1 / 1