9_基于Mathematica的数值计算.ppt

第九讲 数值计算 6.1 求近似函数 在生产和实验中, 人们经常遇到需要通过某个未知的函数f(x)在有限个给定点的函数值:{xi, yi}, i=1,2,…., n, 这里 f(xi) = yi 去获得函数f(x)的近似函数?(x), 求近似函数?(x)的方法主要有拟合方法和插值方法。 6.1.1 曲线拟合 曲线拟合主要用来求一元近似函数, 它是根据最小二乘原理的意义下获得近似函数的, 此近似函数具有在数据点处的误差平方和最小的特点。记函数集合: M=Span[?0, ?1, ?2,…, ?m]= {?(x)|?(x)= a0 ?0(x)+a1?1(x)+…+am?m(x), ai ?R} 称集合M为函数?0, ?1, ?2,…, ?m张成的空间，m+1个函数?0(x), ?1(x), ?2(x),…, ?m(x)称为拟合基函数集合, 它们都是已知的函数。 Mathematica曲线拟合的一般形式为: Fit[{数据点集合}, {拟合基函数集合}, 自变量名] 具体的拟合命令有: 命令形式1：Fit[{{x1,y1},{x2,y2},...,{xn,yn}},{ ?0, ?1, ?2,…, ?m },x] 功能：根据数据点集{{x1,y1},{x2,y2},...,{xn,yn}}求出具有拟合函数为 ?(x)= a 0 ?0(x)+a1?1(x)+…+a m?m(x) 形式的近似函数?(x) 命令形式2：Fit[{y1,y2,...,yn},{ ?0, ?1, ?2,…, ?m },x] 功能：根据数据点集{{1,y1},{2,y2},...,{n,yn}}求出具有拟合函数为 ?(x)= a 0 ?0(x)+a1?1(x)+…+a m?m(x) 形式的近似函数?(x) 命令形式3：Fit[{{x1,y1},{x2,y2},...,{xn, yn}}, Table[x^i,{i,0,m}] ,x] 功能：根据数据点集{{x1,y1},{x2,y2},...,{xn,yn}}求出拟合函数为m次多项式的近似函数?(x) =a 0 +a1x+ a2x2 +…+a mx m 多项式拟合算法 输入n+1个拟合点： (xi, yi),i=0,1,…,n 根据散点图确定拟合多项式的次数m 计算相应正规线性方程组的系数和右端项 解正规正规线性方程组，得解：a0*,a1*,…,a m* 写出拟合多项式?*(x)= a0*+ a1*x+ a2*x2+ …+ am*xm 求m次多项式拟合程序 Clear[xi,xx,yi]; xi=Input[xi=] yi=Input[yi=] n=Length[xi]; h=ListPlot[Table[{xi[[i]],yi[[i]]},{i,1,n}],PlotStyle-PointSize[0.04]] m=Input[多项式次数m=] s=Table[Sum[xi[[k]]^i,{k,1,n}],{i,0,2m}]; a=Table[s[[i+j-1]],{i,1,m+1},{j,1,m+1}]; Print[a=,MatrixForm[a]]; b=Table[Sum[xi[[k]]^i*yi[[k]],{k,1,n}],{i,0,m}]; Print[b=,MatrixForm[b]]; xx=Table[x[i],{i,1,m+1}]; g=Solve[a.xx==b,xx]; fa=Sum[x[i]*t^(i-1),{i,1,m+1}]/.g[[1]]; p=fa//N p1=Plot[p,{t,xi[[1]],xi[[n]]},DisplayFunction-Identity]; Show[{p1,h},DisplayFunction-$DisplayFunction]; 说明：本程序用于求m次多项式拟合。程序执行后，按要求通过键盘输入拟合基点xi:{x0 , x1, ... , xn }、对应函数值yi:{ y0 , y1 , … , yn }后，计算机给出散点图和请求输入拟合多项式次数的窗口，操作者可以根据散点图确定拟合多项式的次数通过键盘输入，程序即可给出对应的正规方程组系数矩阵a、常数项b、m次拟合多项式和由拟合函数图形和散点图画在一起的图形。 程序中变量说明 xi：存放拟合基点{x0 , x1, ... , xn } yi: 存放对应函数值{y0 , y1 , … , yn} m: 存放拟合多项式次数 a: 存放正规方程组系数矩阵 b: 存放正规方程组常数项 p: 存放m次拟合多项式 h: 存放散点图 p1：存放拟合函数图形 xx:定义正规方程组变量，存放m次拟合多项式的系数 注：语句s=Ta