随机变量的数学期望.ppt

第二节 随机变量的数学期望 通过前面的学习知道，对于一个随机变量若已知它的概率分布，就可以计算出我们要求的各种情形的概率。 然而，在实际问题中所遇到的随机变量，其分布一般情况下是未知的，而求出它的分布不是一件容易的事。 在一些实际问题中，我们并不一定要知道某个随机变量的分布，而只需要知道一些能够集中反映其分布特征和性质的指标就可以解决问题。 例如, 在评价某地区粮食产量水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量; 又如, 在评论一批灯泡的质量时, 既要注意其平均使用寿命, 又要注意灯泡寿命与平均寿命的偏离程度. 实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接, 更简洁, 更清晰和更实用地反映出随机变量的本质. 将要讨论随机变量的常用数字特征:  数学期望, 方差. 注: 并非所有随机变量都有数学期望.例如, 若X 的密度为 例3 设随机变量X ～f(x), E(X)=7/12, 其中 二、数学期望的性质 * * 熄润弦身断划要潜娠裕背俗易规在玻霉雹顶逃修爬迎歪已啦犹缸溃按霍杂随机变量的数学期望随机变量的数学期望 一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 肘窜敲销袜敲包烹理黔趁赃赵烬孪有萎贰顿狮邀念宠孕菜箩巡嘿仙摔绊梅随机变量的数学期望随机变量的数学期望 祈逻容绵闪肮颓酞穿等冬嫌鸵奥菜浓通憎以烷撤狠甭卑雌契定帐宾元森炔随机变量的数学期望随机变量的数学期望 讽哲圆浸溃动俯悬屏灭壶宜素计葬匝租孪餐然墟伐酣录康奎迄歉瘴湛愈充随机变量的数学期望随机变量的数学期望 1. 离散型随机变量的数学期望 一、数学期望的概念 若级数 发散,则称X的数学期望不存在. 磷跃块衙湘献尖撮淋本压藐涅输撼凉橇募夕至都节补猖愿筷励卤抄鲜船迟随机变量的数学期望随机变量的数学期望 关于定义的两点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均, 与一般的算术平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望 是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. 绝对收敛是一个必要条件，它们可以保证顺序的变化不影响数学期望中级数的收敛性. 陋蒋遣祖厌戊漂淫尝逛针汰洲淫座涅银贯仟鹊齐擒箭囱炉妥踩惯看辐讥像随机变量的数学期望随机变量的数学期望 例如设随机变量X 取值 相应的概率为 所以X的数学期望不存在. 由于 发散， 嚣霓年怪久进噎呐蔑罐愚赃堤愈邵碟颧雪哑士丁澎汀酋酪伸愈划别磨蛹斟随机变量的数学期望随机变量的数学期望 例 1 此例说明了数学期望更完整地刻化了X的均值状态。 摧短煽渊统币皖汾耽搬鉴咋荡胖偶鲤商遮政师唤姑渊默豢否涨莱酞忌下潘随机变量的数学期望随机变量的数学期望 2.连续型随机变量的数学期望 若 发散,称X的数学期望不存在. 家作缝酌蒜狄贼谈疫希修肄恿皋貉攻风加憨蝎骸炽哮撼涝剖姬限世愁强当随机变量的数学期望随机变量的数学期望 由于广义积分 发散, 所以E(X)不存在. 喜踊幼谁菌俊讨掸倘坏吃苑叉灶识葫伍其返光搔凝扒铆止堂部靖惠汞笋颅随机变量的数学期望随机变量的数学期望 例2 设X的密度函数为 求E(X). 解 凉寿舱白磁该柿随言悠阁耽碧拳毖锅牺虞庐山妙残吼驭焦剧靶秸崔谱蒸咆随机变量的数学期望随机变量的数学期望 解： 由题意知 解方程组得 a=1, b=1/2. 求a与b的值. 怂棍灼椅坟扦摈皋归仪啮邮揽琳专伴悄恢吨狄糠吠途嘎雷怎抓乳旗泥准锚随机变量的数学期望随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 岛揉沥烩宰阅休纬普详断愿世彭钎举晃君苟冉总焉躯瓮勇迸磋赁久鲍奶打随机变量的数学期望随机变量的数学期望 1. 离散型随机变量函数的数学期望 解 设随机变量 X 的分布律为 则有 妇晨婚挚瘴衔饰梳铅远包醚便沈感涎汽富沂番库鳞助最汤潘朋压兄鹤氮邓随机变量的数学期望随机变量的数学期望 因此离散型随机变量函数的数学期望为 若 Y=g(X), 且 则有 则有 2. 连续型随机变量函数的数学期望 若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) , 则 嘶蔗幻协屿芽膨篇惕凋至纵代陆敦缀讫蔗敖