中篇弹性力学.ppt

中篇 弹性力学 第三章 弹性本构方程 §3-1 应力—应变关系的一般表达 §3-2 各向异性线弹性体 §3-3 各向同性线弹性体 §3-4 弹性应变能与弹性应变余能 §3-1 应力—应变关系 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 由材料力学已知，Hooke定律可表示为： 对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理： 剪应变： 三. 体积应变与体积弹性模量 四. 物理方程的其他表示形式 用应变表示应力： 弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应变的函数（或应变是应力的函数） 当自变量(应变)很小时，式（１）中的各表达式可用泰勒级数展开．略去二阶及以上的高阶微量，则式（１）中的第一式展开为： 故, 式（１）可用一个线性方程组表示（线弹性体） 　　　由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力时，必产生同样的应变，反之亦然．因此　为常数，其数值由弹性体材料的性质而定． 弹性矩阵为 极端各向异性体的特点: 2.正交各向异性体 如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对称面, 这种物体称为正交各向异性体。如: 煤块、均匀的木材、叠层胶木、复合材料等 3.横观各向同性体 物体内任意一点, 沿任何方向的弹性性质都相同。 §3-3 弹性应变能 弹性体受外力作用后产生变形，外力在其作用位置的变形上做功。忽略速度、热交换和温度等因素，则外力所做的功全部转换为应变能储存在物体的内部。 一、一维状态 对线弹性材料， 三向应力状态下，六个应力分量和六个应变分量。由能量守恒原理，各应力分量的合力只在其对应的应变分量所引起的变形位移上做功。 本章重点： * 从静力学的角度对应力进行了分析 从几何学的角度对应变进行了分析 平衡微分方程 几何方程和变形协调方程 上述方程适用于任意连续物体，包括弹性力学和塑性力学。 这些方程还不能解决弹塑性力学问题。 需要研究应力与应变之间的物理关系，即本构关系。对应的函数方程称为物理方程，或本构方程。 一、本构方程 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学描述。 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型，再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一定实验验证结果） 例如：材料单轴拉伸应力-应变曲线： e s s e 非线弹性 线弹性 塑形变形 塑形变形 单向拉压 纯剪切 E为拉压弹性模量； 横向与纵向变形关系 G为剪切弹性模量 为泊松比 二. 各向同性材料的广义Hooke定律（本构方程） 考虑x方向的正应变： 产生的x方向应变： 产生的x方向应变： 产生的x方向应变： 叠加 同理： 物理方程： 说明： 1.方程表示了各向同性材料的应力与应变的关系，称为广义Hooke定义。也称为本构关系或物理方程。 2.方程组在线弹性条件下成立。 令： 则： 令： sm称为平均应力; q 称为体积应变 物理方程： 或： 各种弹性常数之间的关系 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。 §3-2 线弹性体本构方程的一般表达式 表示应变分量为零时的值，由基本假设，初始应力为零．故 表示函数f1对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零时的值，等于一个常数 　　　式（２）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关系一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一点的应力与应变的一般关系式． 　　　式（２）中的系数　　　　　　　　称为弹性常数，共有３６个． 　　　式（２）推导过程未引用各向同性假设，故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、二维各向同性体以及各向同性体等． 式(3)可用简写为 称为弹性矩阵. 式（２）可用矩阵表示 物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极少见) 三、. 弹性常数 1. 极端各向异性体: 由能量守恒定律和应变能理论可证明,弹性常数之间存在关系 即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个弹性常数也不是全部独立. 36个弹性常数减少到21个. 弹性矩阵是对称矩阵. (1) 当作用正应力 时, 不仅会产生正应变 , 还会引起剪应变 。 (2) 当作用剪应力时, 不仅会产生剪应变, 也会引起正应变。 如在均匀体内, 任意一点都存在着一个对称面, 在任意两个与此面对称的方向上, 材料的弹性性质都相同。 称为具有一个弹性对称面的各向异性体。该对称面称为弹性对称面, 垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。