为非空集合X上的二元运算。.ppt

第4章 群、环、域 4.1 代 数 运 算 4.1.1 基本概念 定义4.1 设X是一非空集合，从Xn到X上的函数f称为集合X上的n元代数运算，简称n元运算，正整数n称为该运算的阶。 显然，运算是一种特殊的函数。根据运算的定义，要验证集合X上的一个二元运算主要要考虑以下两点： （1）X上的任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是惟一的。 （2）X上的任何两个元素的运算结果都属于X，即集合X对该种运算是封闭的。 4.1.2 二元运算的性质 定义4.2 设*为非空集合X上的二元运算。 （1）如果对任意的，都有 x*x=x 则称*满足等幂律。如果X中的某些元素a满足a*a=a，则称a为运算的等幂元。 （2）如果对任意的 ，都有 则称*满足交换律。 （3）如果对任意的 ，都有 则称*满足结合律。 定义4.3 设*，·为非空集合X上的二元运算。 （1）如果对任意的 ，都有 则称·对*满足分配律。仅第一个式子满足时，也称·对*满足左分配律；仅第二个式子满足时，也称·对*满足右分配律。 （2）如果对任意的 ，都有 定义4.4 设*为非空集合X上的二元运算。 （1）如果存在元素 (或 ) ，使得对任意 都有 （或 ） 则称 (或 )是X中关于运算*的一个左单位元（或右单位元）。如果 关于运算*既是左单位元又是右单位元，则称e为X中关于运算*的一个单位元。单位元有时又叫做么元。 定理4.1 设*为非空集合X上的二元运算。 4.2 半 群 与 群 4.2.1 半群 4.2.2 群 4.3 群的性质、循环群 4.3.1 群的性质 4.3.2 循环群 4.4 子群、置换群 4.4.1 子群 4.4.2 对称群与置换群 4.5 陪集与商群 4.5.1 陪集 4.5.2 正规子群与商群 4.6 同态与同构 4.6.1 基本概念与基本性质 4.6.2 群同态基本定理 定理4.24 任何有限群都同构于一个置换群。 4.7 环 与 域 4.7.1 环 4.7.2 整环与域 * * * 代数运算 4.1 半群与群 4.2 子群、置换群 4.4 群的性质、循环群 4.3 环与域 4.7 同态与同构 4.6 陪集与商群 4.5 *