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从例题教学谈学生思维能力的培养
从例题教学谈学生思维能力的培养
肖冬璇
教育家布鲁姆·乔伊斯说:“教会学生思考,我们就给了他们自己教育自己的能力。”衡量课堂教学效果的一个重要标志就是学生思维能力在多大程度上得到挖掘和培养。学生数学思维能力提高,只有在解决数学问题的思维实践中才能实现。数学教学的主要目的任务不是简单的知识传授和方法指导,而是通过教学使学生在掌握知识方法的同时,培养学生的思维能力,使学生具有良好的思维素质。在例题教学中,解题只是手段,教学的关键是要努力提高每一道题的功效性,重要的是通过解题教会学生思维、提高学生的能力。本文结合个人的教学实践及点滴体会,就课堂例题教学中学生思维能力的培养略谈一些粗浅的见解。
一、观察题目特征,培养直觉思维能力
观察从数学上来说,就是有意识地对事物的数和形的特点进行一番直觉上的认识。对于数学中的观察即审题,是解题中首先进行的直觉思维活动,其目的是明确问题的已知条件和求解目标,它是分析与联想的基础。在数学教学中,培养学生勤于观察、善于观察的习惯,对培养学生的直觉思维是十分重要的。有时题目的解决就是通过观察题目的数形特征,已知的隐含条件或等价形式,问题本身的结构特点,从而找到解决问题的突破口。
1、观察题目已知与未知的结构特征
通过观察题目的结构,借助联想,常可获得各种巧妙的解题构思。
例1:已知函数,那么
分析:由已知条件,在中,分别令,可计算出结论。仔细观察本题式子特征:与,与,与互为倒数,据此信息,求得,结合已知,有,本题得解。
2、观察题目已知与未知的数字特征
数学问题中常出现某些特殊的数值,若能抓住这些数值的特征,结合已知与未知的关系,常可优化思维过程。
例2:给定数列,且,则的值是——
分析:观察已知中出现常数,它可看成,再由已知的结构特征,可考虑采用三角解法。
设,则,由此递推易知,故是周期为12的周期数列,因此。
例3:设,方程的一切根都是复数,且其模均不为1,求的取值范围。
分析:观察方程中各项的系数,发现对称排列,显然不是原方程的根,故原方程可化为,即。令,则,代入以上方程即有。为复数且,故亦为复数,。
二、探究题目解题思路,培养探索性思维能力
数学教学过程是再现知识发生和形成的过程,是揭示数学内在联系的过程。在教学中充分展现思维过程,在传授知识的同时培养学生的能力,是现代先进教学理论与方法的特点。例题教学若是照本宣科,往往题目解得越多,学生越糊涂。而经过学生自身思维活动得到的思路,容易在大脑信息库中被激活,做到得心应手。因此应在例题教学中应努力加强解题思路的形成过程的教学,在探究解题思路的教学中渗透思维训练,创设探究氛围,让学生成为探究者,使学生在掌握知识的思维实践中既获得了知识又得到了思维训练。在教学中,教师要注意简化自己的思维到学生能够接受的程度,为学生学会分析问题导航。教师对知识的发生和形成做出合乎情理的思维模拟,引导学生通过主动探索发现知识和获取知识,这就可以从深层次触及学生的认识领域,使学生在新旧知识的各个环节生成相互联系的固定点,从而形成稳定可靠的认知结构,此过程即为体现探索的过程,又必将为进一步发展探索思维奠定坚实的基础。
例4:使抛物线上总有关于直线对称的两点,试求实数的取值范围。
教学时,可不直接讲解题过程,而是启发学生共同思考:
(1)设是抛物线上关于直线对称的两点,则有哪些条件可供使用?
(A,B在抛物线上;;AB的中点既在直线AB上又在直线上)
(2)依据何种特征来求的范围?其关键又是什么?经过分析,学生知道求的范围是要解关于的不等式,其关键是建立关于的不等式,学生了解了解题的思维原则,就能从不同角度探究解题途径。
途径一 利用判别式
将直线AB的方程与抛物线方程联立,得关于的二次方程有不等实根,其充要条件为判别式,得关于的不等式。
途径二 利用直线的参数方程
将经过AB的中点的直线参数方程代入抛物线方程,得关于参变量的二次方程,A,B两点对称分布在其中点两侧,只需且,由此得关于的不等式。
途径三 利用基本不等式
运用已知条件即可得关于的不等式。
途径四 利用点在曲线内
设AB的中点为,很明显点N在抛物线内部,因而等价于下列两种情形:
(1) 或 (2)
运用已知条件即可得关于的不等式。
可见,每一种建立的不等式的方法,都是一种解题途径。教学中为学生导航,使学生在实践中学会探索解题思路,不仅使学生对着一个例题的解法有了深刻的理解,而且对于这一类问题都能自然的找到解题的思路,具有应变能力,就能提高学生灵活解决陌生问题情景的能力。
三、优化解题思路,培养发散性思维能力
例题教学中,若仅片面强调“类型+方法”的定势思维,搞题型,套模式,只会造成学生对数学知识的死记硬背,单纯摹仿,缺乏分析、解决问题的能力。而在例题教学中围绕典型例题进行一
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