现代控制理论基础_周军_第七章变分法在最优控制中的应用.doc

第二篇? 最 优 控 制 　　　 概??? 述? 最 优控制是现代控制理论的一个重要组成部分。它所研究的问题是：对一个控制系统，在给定的性能指标要求下，如何选择控制规律，使性能指标达到最优（极值）。 在应用经典控制理论时，各种设计方法本质上都是建立在试探的基础上的，在很大程度上依赖于设计人员的实践经验，因此设计结果不可能实现严格的最优。另外， 对于复杂的系统，用经典设计方法往往得不到满意的设计结果。而对于多输入多输出时变系统来讲，经典控制理论已经是无能为力了。应用最优控制理论则对各种控 制系统有可能在严格的数学基础上获得最优控制规律，实现最优控制，例如拦截导弹最短时间控制或最小轨迹控制。 拦截导弹最短时间控制或最小轨迹控制 因此，随着现代科学技术的发展，目前最优控制理论已经引起人们普遍的重视，并取得了很大的发展。下面，我们分别对最优控制问题的提法及性能指标的分类这两个问题作一些解释。 一、最优控制问题的提法 设动态系统的状态方程： ??????????????????????????????? ??(7-1) 初始状态： ??????????????????????????????????????????????????(7-2) 目标集：?? ??????????????????????????????????????????????? (7-3) 控制域：? ????????????????????????????????????????????? (7-4) 性能指标：????????? ? ?????????????????????????????(7-5) 最优控制的问题就是：从所有可供选择的容许控制中寻找一个最优控制 ，使状态 由 经过一定时间转移到目标集 ，并且沿此轨线转移时，使相应的性能指标达到极值（极大或极小）。 一个最优控制问题通常由式(7-1)至式(7-5)五个方程来描述，下面来分别加以说明。 动态系统（指受控系统）的数学模型，它描述了受控系统的运动规律，一般用向量状态(7-1)表示，式中 为 维状态向量， 为 维控制向量。 性能指标J是 我们事先规定的一个衡量控制过程性能好坏的指标函数。所谓过程“最优”，从数学上讲就是要使这个指标函数达到极值（极大或极小）。性能指标可以是各种各样 的，它取决于我们所要解决的最优问题的主要矛盾。因此，对于不同的控制任务，就有不同的性能指标，我们不能给出适用于一切情况的统一格式。 控制域是指容许控制的集合。求解最优控制问题，最终需要找出最优控制规律 。但它必须在容许的取值范围内，即 之值必须处在一容许控制集 内： 当控制向量之值的变化范围不受限制时， 与整个 维向量空间 重合，这时 是一开集；当此值的变化范围受限制时，则 可能是一有界闭集。 动态系统的初态及终态是指一个动态过程在状态空间中由怎样的状态开始，转移至怎样的状态。所谓最优过程、对于不同的边界条件显然是不同的。一般情况下，初始状态是给定的，而终端状态则可能是固定的、自由的或按一定规律变动的，但总可以用一个目标集 来加以概括： 二、性能指标的分类 性能指标函数又称价值函数、目标函数、性能泛函等，它一般是一个泛函，因此最优控制问题可归结为求泛函的极值问题。按照实际控制性能的要求大致可以分为： ⑴ 最小时间问题。这是最优控制中常遇到的问题之一。最小时间问题的性能指标为： 拦截导弹最短时间控制 ???????????????????????????????????????? ? ?(7-6) 对照式(7-5)，这里相当于 ???????????????????????????????????????? ?(7-7) 并且不包含终端指标。 ⑵ 最小燃料消耗问题。粗略地说，控制量u(t)与燃料消耗量成正比。因此，最小燃料问题的性能指标可用下式表示： 导弹发射过程中最小燃料消耗问题 ?? ????????????????????????????????????????????(7-8) 对照式(7-5)，这里相当于 ????????????????????????????????????????? (7-9) 因为燃料消耗与控制量的符号无关，所以取绝对值。 ⑶ 最小能量控制问题。假设 与消耗功率成正比，则这时的性能指标可用下式表示： 航天飞机返回时最小能量控制 ? ??????????????????????????????????????????? ?? (7-10) 相应地 ????????????????????????????????????????? (7-11) 式中， 在时间区间 上的积分就是消耗的总能量。 ⑷ 线性调节器问题。给定一个线性系统，其平衡状态为 ，设计的目的是要保