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第二章 线性系统的数学描述 数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种： 第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述； 第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述； 第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。 2.1 线性系统的时域数学模型 对于单输入、单输出线性定常系统，采用下列微分方程来描述： 式中，和分别是系统的输入信号和输出信号，为对时间的阶导数；和是由系统的结构参数决定的系数。 2.2 传递函数 式中 和分别称为传递函数的分子多项式和分母多项式。 2.5 线性系统的状态空间描述 2.5.2 状态空间表达式与传递函数的关系 2.5.3 状态空间表达式的建立 情形一： 线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点 情形二 线性微分方程含有输入的导数(不超过3阶)，传递函数有零点 Chp.9 状态空间系统响应、可控性与可观性 9.1 线性定常系统的响应 已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为 状态变量的初始值为，控制作用为。 状态方程是一阶微分方程组其解为 其中，指数函数可以展成如下无穷级数形式 一阶向量微分方程的齐次方程的解也具有如下形式 其中， 式无穷矩阵级数的收敛式叫做矩阵指数，I为单位矩阵。 非齐次状态方程的求解。 从式可以看出，系统的动态响应由两部分组成：一部分由状态初始值引起，叫做零输入响应；另一部分由输入信号引起，叫做零状态响应。 9.2 状态转移矩阵一般情况下，线性系统（包括定常和时变）的状态响应方程可以写为 式又称状态转移方程，并称为状态转移矩阵，它表征系统从的初始状态转移到的任意状态的转移特性。显然，状态的转移性能完全取决于系统的A阵。对于线性定常系统有。 9.2.2 矩阵指数和状态转移矩阵的计算 一、拉氏变换法 这种方法实际上是用拉氏变换在频域中求解状态方程。矩阵称为预解矩阵。 二、化矩阵A为对角线矩阵和约当矩阵法 如果状态方程的系数矩阵A为对角线矩阵，即 可以证明，相应于矩阵A的矩阵指数为 9.4 可控性和可观性 定理9-1（可控性的代数判据）设n阶线性定常连续系统的状态方程为 式中，、分别为维、维向量，A、B分别为维和维实数矩阵。则系统完全可控的充要条件是，系统的可控性矩阵 的秩为n。即 此时称为可控矩阵对。 定理9-3（特征值规范型判据）设线性定常连续系统具有互异的特征值，则系统状态完全可控的充要条件是系统经非奇异变换后的对角规范形式 中不包含元素全为0的行。 定理9-4（特征值规范型判据）设线性定常连续系统具有重特征值，，┅，，，，则系统状态完全可控的充要条件是，经非奇异变换后的约当规范形式 中与每一个约当块的最后一行相应的那些行的所有元素不完全为0。 9.4.2 线性定常系统的可观性 定理9-5（可观性代数判据）设线性定常连续系统的状态空间表达式为 构造系统的可观性矩阵 则线性定常连续状态完全可观的充分必要条件是其可观性矩阵满秩，即 定理9-6（特征值规范型判据）设线性定常连续系统的系统矩阵和输出矩阵分别为A和C，如果系统具有两两互异的特征值，则其为状态完全可观的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线规范型 的输出矩阵中不包含元素全为0的列。定理9-7（特征值规范型判据）设线性定常连续系统的系统矩阵和输出矩阵分别为A和C，如果系统具有重特征值，，┅，，，，则系统状态完全可观的充要条件是，系统经非奇异变换后的约当规范形式 中与每一个约当块的首列相应的那些列的所有元素不全为0。 第十章 线性反馈系统的时间域综合 10.1 输出反馈与状态反馈 考虑n维线性定常系统（没有引入反馈） (10.1) 分别为n维、p维和q维向量，A，B，C分别为、和维的实数矩阵。下面给出系统的两种反馈形式：输出反馈和状态反馈。 输出反馈 输出反馈的目的：首先是使系统闭环稳定，然后在此基础上进一步改善闭环系统的性能。 输出反馈系统的状态空间表达式为 方便起见，用表示输出反馈系统，该系统对应的传递函数为 状态反馈 若将系统的控制量u取为状态变量的线性函数