现代控制理论试卷答案与解析.doc

现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C电路，设为控制量，电感上的支路电流和电容C上的电压为状态变量，电容C上的电压为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）。  解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 从上述两式可解出，，即可得到状态空间表达式如下： =+ 二、考虑下列系统： （a）给出这个系统状态变量的实现； （b）可以选出参数（或）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。 解：（a）模拟结构图如下： 则可得系统的状态空间表达式： （b） 因为 所以：当时，该系统不能控；当时，该系统能控。 又因为： 所以：当或时，该系统不能观；当且时，该系统能观。 综上可知：当时或且时，该系统既不能控也不能观。 三、已知系统的状态转移矩阵为： （1）试确定矩阵，并验证确为上式。 （2）已知求，以下采用三种方法计算，并对计算结果进行讨论。 解：（1）利用书上P53状态转移矩阵的性质四：对于状态转移矩阵，有 即 当t=0时 验证：（利用P59的公式（2-24）来验证） 解得：，，有一对复根，重根部分按公式（2-24）处理，非重根部分的仍按公式（2-23）计算。 且 所以： 四、有两个能控能观的单输入—单输出系统： ： ： （1）按图把、串联，针对推导状态方程。 （2）判断以上系统的能控性和能观性。 （3）把串联系统的连接顺序颠倒过来，再推算系统的状态方程及能控、能观性。 （4）求、及串联系统的传递函数矩阵，并对（2）和（3）讨论。 解：（1） 所以 因而 得状态方程: （2） A= b= 所以 所以该系统不能控。 所以 所以 该系统是能观的。 （3） 所以 所以 所以此时该系统能控。 而 所以此时该系统不能观。 （4） = 当、按照（2）的连接方式串联时， 当、按照（2）的连接方式串联时， 由上边的传递函数结果可知，当子系统串联时，颠倒其先后次序，虽然传递函数相同，但系统的能控性、能观性则不一定相同。 五、试求下列系统的能控性分解及能观性分解： 解：（a）能控性分解： ， 所以 ，故该系统不能控。 构造非奇异矩阵 ，所以 （b）能观性分解： 所以 所以该系统不能观。 构造非奇异矩阵： ，所以 六、试用李雅普诺夫第二法，判断下列系统的稳定性。 （1） （2）系统结构图如下，对结果进行讨论，采取什么措施可使系统稳定？ 解： 原点=0是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即 当，时， ；当，时，，因此为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。 另选一个李雅普诺夫函数，例如： = 为正定，而 为负定的，且当，有。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。 闭 环系统的状态方程为 其齐次方程为 显然，原点为系统的唯一的平衡状态，选李雅普夫函数 可见，在任意的值均保持为0，而保持为常数 这表示系统运动的相轨迹是一系列以原点为圆心，为半径的圆。这时系统为李雅普诺夫的稳定，但在经典控制理论中，这种情况属于不稳定，这的自由解是一个等幅的正弦振荡，要想使这个系统不稳定，必须改变系统的结构。 七、图示的控制系统，试设计状态反馈矩阵，使闭环系统输出超调量和峰值时间。 解：传递函数 又因为二阶系统单位阶