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一、引言 在工程领域里，在进行系统分析和设计时，首先要建立系统的数学模型，不同的领域建立的数学模型不同，也就是数学方程式的形式不同，自然求解方法（或算法）也不同。 在电路系统的分析和设计中，在进行交流小信号分析时，所列的方程是线性代数方程，可以采用高斯消元法或 LU分解法；对于直流非线性分析，所列方程是非线性代数方程，可以采用牛顿 -拉夫森方法迭代求解；瞬态分析，所列方程是常微分方程，一般采用变步长隐式积分法求解等等。 例如在电路的直流分析中，电容开路，电感短路，计算电路的静态工作点。在交流小信号分析中，电路也先要进行直流分析，以确定半导体器件的跨导等小信号参数。在瞬态分析中，需求出电路在指定时间区间上的解，这时电路的方程是常微分方程，求解常微分方程必须先求出电路储能元件上的初始电流或电压值，这也由直流分析来完成。 线性电路的直流分析所建立的方程是线性代数方程组。对于建立电路线性代数方程组的方法可以应用节点法或改进节点法，也可以采用表矩阵法和双图法，这些方法都可以利用计算机自动建立。如果我们建立好了电路的代数方程组 AX=B，一 般可以利用高斯消去法和 LU分解法来解方程组。实际上对于稍大些的电路（ n40 ），建立的矩阵 A是个稀疏矩阵，矩阵含有大量的零元素。并且电路系数矩阵 A中的各元素的数值相差悬殊，可能达到10的8次方量级以上。这时候一般采用全选主元的高斯 -约旦消去法来求解系数矩阵为稀疏矩阵的大型方程组。 二、解法 1、高斯消去法的基本思想 一般形式的线性方程组为： 通常用向量矩阵表示，则上述方程可写成Ax=b（1） 并记做，分别表示 A为n×n阶实矩阵，x、b为n维实向量，Gauss消去法就是将方程组（1）通过（n-1）步消元，将（1）转化为上三角方程组 再回代求此方程组的解。 下面记增广矩阵，即 第 1步 设 计算 记为， 若用 乘 第一行加到第 i行，可消去， 用Guass变换矩阵表示 令 其中， 一般地，假定已完成了（k-1）步消元，即已将转化为以下形式： 第k步，假定，计算 记， 则。其中 反复进行上述过程，经过n-1步消元，则可得到，即方程（2）。直接回代（1）得 综上所述，高斯消去法分为消元过程与回代过程，消元过程将所给方程组加工成上三角形方程组，再经回代过程求解。 2、列主元素消去法 首先，在中的第一列选主元，即行为主元。若，将的第行与第一行互换，再按消元公式计算得到。假定上述过程已进行(k-1)步，得到。第k步，在中第k列选主元，，若，则中将与k行互换（若则不动），再按公式（3）、（4）求出。对k=1,2，……n-1，重复以上过程则得，如果某个k出现主元，如果某个k出现主元（或），方程没有唯一解或严重病态，否则可由（5）求得解。 3 、全选主元高斯—约旦消去法 除列主元消去法外，还有一种消去法，是在A的所有元素 中选主元，称为全主元高斯 -约旦消去法。它是一种在整个系数矩阵中选取主元的消去法。 高斯 -约旦法（全选主元）求解线性代数方程组的步骤如下： 首先，对于 k从 0到n-1 作如下运算： 全选主元从第 k行、第k 列开始的右下角子阵中选取绝对值最大的元素，并记住次元素所在的行号和列号，在通过行交换和列交换将它交换到主元素位置上。 系数矩阵归一化 常数向量归一化 系数矩阵消元 常数向量消元 最后，根据在全选主元过程中所记录的行、列交换的信息进行恢复，恢复的原则如下，在全选主元过程中，先交换的行（列）后进行恢复；原来的行（列）交换用列（行）交换来恢复。 三、结论及思考 实际应用中，可以根据代数方程组的不同特点选用不同求解方法。比如如果 A是一个 n阶对称正定矩阵可以采用平方根法；有时候得到的系数矩阵为对称但不正定可以采用改进平方根法；如果 A为三对角矩阵考虑采用追赶法；如果变量个数较多，这个时候通常采用迭代法，系数矩阵如果为按行严格对角占优矩阵，则可以采用雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法等等。