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学案5 基本初等函数 自主梳理 一．指数函数 1．指数幂的概念 (1)根式 如果一个数的n次方等于a(n1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做________，其中n1且n∈N*.式子叫做________，这里n叫做________，a叫做____________． (2)根式的性质 ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号________表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________(a0)． ③()n＝____. ④当n为偶数时，＝|a|＝ ⑤当n为奇数时，＝____. ⑥负数没有偶次方根． ⑦零的任何次方根都是零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是＝________(a0，m，n∈N*，n1)． ②正数的负分数指数幂是＝____________＝______________(a0，m，n∈N*，n1)． ③0的正分数指数幂是______，0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①aras＝________(a0，r，s∈Q)．②(ar)s＝________(a0，r，s∈Q)．③(ab)r＝________(a0，b0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 a1 0a1 图象 定义域 (1)________ 值域 (2)________ 性质 (3)过定点________ (4)当x0时，______；当x0时，______ (5)当x0时，________；当x0时，______ (6)在(－∞，＋∞) 上是______ (7)在(－∞，＋∞) 上是______ 二．对数函数 1．对数的定义 如果________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a0且a≠1) ①＝____； ②＝____； ③＝____； ④＝____. (2)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝________________(a，b均大于零且不等于1)； ②＝，推广＝________. (3)对数的运算法则 如果a0且a≠1，M0，N0，那么 ①loga(MN)＝___________________________； ②loga＝______________________； ③logaMn＝__________(n∈R)； ④＝logaM. 3．对数函数的图象与性质 a1 0a1 图 象 性 质 (1)定义域：______ (2)值域：______ (3)过点______，即x＝____时，y＝____ (4)当x1时，______ 当0x1时，______ (5)当x1时，______当0x1时，______ (6)是(0，＋∞)上的______函数 (7)是(0，＋∞)上的______函数 4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数____________互为反函数，它们的图象关于直线______对称． 三．幂函数 1．幂函数的概念 形如______的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数． 2．幂函数的性质 (1)五种常见幂函数的性质，列表如下： 定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点 y＝x R R 奇 ↗ (1,1) y＝x2 R [0，＋∞) 偶 [0，＋∞)↗ (－∞，0]↙ y＝x3 R R 奇 ↗ y＝ [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇 非偶 [0，＋∞)↗ y＝x－1 (－∞，0) ∪(0，＋∞) (－∞，0) ∪(0，＋∞) 奇 (－∞，0)↙ (0，＋∞)↙ (2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象． (3)α0时，幂函数的图象通过点________________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象________原点． 四．三角函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 在___________________上增， _____________________上减 在___________________上增， _____________________上减 在定义域的每