理学院数值计算方法实验五.doc

实验五 实验名称 数据拟合与函数逼近 姓 名 张见 学 号班 级 08信计（2）班 指导教师 张昆 实验日期 2010-12-1 成 绩 实验目的 掌握最小二乘拟合多项式的性质及计算； 观察最小二乘拟合多项式数值稳定性； 掌握最佳平方逼近多项式的性质及计算,并作出函数的图像。 实验题目 给定数据点如下表: xi 0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 yi 1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00 用最小二乘法求定数据点(xi,，yi)的一、二、三次拟合多项式，和拟合多项式的图形。 观察最小二乘多项式的数值不稳定性： 将区间[-5,5] 10等分，对函数计算点xi上的函数值，计算数据点(xi,，yi)相应的的1 ~ 9次拟合多项式，作出拟合多项式图形并与的图形进行比较； 给定函数数据点如下表 xi 0.5 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 5 yi 5.8800 1.6800 1.2880 1.0707 0.9465 0.8764 0.8400 1.2576 计算数据点(xi,，yi)相应的的1 ~ 7次拟合多项式，作出拟合多项式图形并与的图形进行比较； 计算x4 或 ex在区间 [0,1] 上的一次、二次、三次最佳平方逼近多项式，作出最佳平方逼近多项式图形并与的函数图形进行比较。 实验原理 最小二乘多项式 当由实验提供了大量数据时，不能要求拟合函数((x)在数据点(xi , yi) 处的偏差严格为零。但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势 ，需对偏差有所要求。通常要求偏差平方和最小，即： 此即称为最小二乘原理（二乘即平方）。 函数 y=f(x) 的一组实验数据 (是全体次数不超过n (nm)次的多项式的集合，求多项式： 由多元函数取得极值必要条件，有: 即 最佳平方逼近多项式 达到极小值，由多元函数取得极值必要条件，有: 取 则法方程组为: 实验内容 最小二乘法求定数据点(xi,，yi)的一、二、三次拟合多项式 设，带入数据的系数矩阵，,则 ，从而求出，所以求出最小二乘拟合多项式是 观察最小二乘多项式的数值不稳定性： 把区间[-5 5]10等分，即,在由原函数求出y. 设，带入数据的系数矩阵，,则 ，从而求出，所以求出最小二乘拟合多项式是 3、函数f(x)在区间 [0,1] 上的n次最佳平方逼近多项式图像 设函数f(x)在区间 [0,1] 上的n次最佳平方逼近多项式为 在区间 [0,1] 上的系数矩阵H=hilb(n+1),，其中 ，因此,所以求出函数f(x)在区间 [0,1] 上的n次最佳平方逼近多项式为 实验图形 1、最小二乘法求定数据点(xi,，yi)的一、二、三次拟合多项式 观察最小二乘多项式的数值不稳定性： ①函数和1~~9次最小二乘多项式图一起输出 ②函数和1~~7次最小二乘多项式图一起输出 3、 I、 x4在区间 [0,1] 上的一次、二次、三次最佳平方逼近多项式图像 一次最佳平方逼近多项式： 二次最佳平方逼近多项式： 三次最佳平方逼近多项式： II、ex在区间 [0,1] 上的一次、二次、三次最佳平方逼近多项式图像 一次最佳平方逼近多项式： 二次最佳平方逼近多项式： 三次最佳平方逼近多项式： 实验分析 最小二乘法求定数据点(xi,，yi)的一、二、三次拟合多项式 从图中一、二、三次拟合多项式图形，可以看出：一拟合多项式图形与二、三次拟合多项式图形大致一样，而二、三次拟合多项式图形基本完全重合，因此随着拟合次数的增加，函数与拟合多项式之间的差距减小。 2、观察最小二乘多项式的数值不稳定性： 从 函数和1~~9次最小二乘多项式图形，函数和1~~7次最小二乘多项式图形，可以看出：函数与n次拟合多项式先减小之间的差距，然而随着次数的增大，他们之间的差距又增大，然后有减小，因此函数与n次拟合多项式不稳定。 3、函数f(x)在区间 [0,1] 上的n次最佳平方逼近多项式图像 从x4在区间 [0,1] 上的一次、二次、三次最佳平方逼近多项式图像和ex在区间 [0,1] 上的一次、二次、三次最佳平方逼近多项式图像中，可以看出：函数f(x)= x4 的图像和函数f(x)= x4 的三次最佳平方逼近多项式的图像基本完全重合，函数f(x)= ex的图像和函数f(x)= x4 的二、三次最佳平方逼近多项式的图像基本完全，函数f(x)= ex的最佳平方逼近更快，他