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理论力学试卷 质点做平面运动，其速度为常量Vo,径向速度亦为常量b（b0,bVo）,求质点的轨道方程。设t=0时,r=r0,=0. 解：由，即 得........（1） （1）式代入 得，即 得.......(2) 把代入（2）式 即得，式中。 2.质量为m与2m的两质点，为可不可伸长的轻绳所联结，绳挂在一光滑的滑轮上。在m的下端有用固有长度的a、劲度系数k为的弹性绳挂上另外一个质量为m的质点。在开始时，全体保持竖直，原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳则处在固有长度上。由此静止状态释放后，求证这运动是简谐的，并求出起振动周期及任何时刻两段绳中的张力T和T’。 解：以图中（1）开始所在位置为原点，设（1）、（2）、（3）处物体的坐标分别为y1,y2,y3,则3个物体运动微分方程： 1 2 3 由于（2）与（3）之间是用不可伸长的轻绳连接，y2=-y3,即 4 故有 5 由 1 和 5 得 6 由 2 3 4 得 7 代入 1 ，有 8 代入 6 ，有 9 即为简谐振动的运动方程。 角频率 所以周期 解 9 得 以（3）为原点，t=0.时，y1=0,.所以 10 代入 1 得 已知作用在质点上的力为 式中系数aij(i,j=1,2,3)都是常数。问这些aij什么条件，才能有势能存在？如果这些条件满足，试计算其势能。 解：满足势能存在，力必须是保守力，所以 即 得 aij(i,j=1,2,3)为常数满足上式关系，才有势能存在。 势能为： 如质点受有心力作用而作双纽线的运动时，则 试证明之。 解：由毕耐公式 质点所受有心力做作双纽线运动 故 故 质量分别为m及m’的两个质点，用一固有长度为a 的弹性绳相联，绳的劲度系数为。如将此系统放在光滑的水平面管中，管子绕管上某点以匀角速度转动，试求任一瞬时两质点间的距离s。设开始时，质点相对于管子是静止的。 解：设m及m’的两质点绕oo’轴转动，如右图 1 2 将 1 代入 2 得 令，通解 当 时