理论力学课件讲义南开大学.doc

分析力学初步-拉格朗日方程 主要内容 牛顿力学的局限性和分析力学的建立 非自由质点系的约束和广义坐标 达朗贝尔方程 拉格朗日方程 对称性和守恒定律 应用 牛顿力学的局限性和分析力学的建立 牛顿力学： 以牛顿定律和力的独立作用原理为力学的基本原理 ----------矢量力学 研究方法：（1）必须知道作用在体系上的所有的力。 ∵出现在体系基本方程中的力是所有力的合力 （2）若质点系受到约束成为非自由质点或质点系，则需要给出约束方程 （3）约束反作用力：将约束去掉，用其约束力的反作用力表征系统所受的力，使系统称为自由系统 注意：约束反作用力（约束反力）并不完全取决于约束本身，而与作用在指点 上的其力以及质点本身的运动状态有关 单靠约束反力本身不能起到引起质点的任何运动 约束反力： 被动力 or 约束力 （4）质点的运动方程为： 一般情况下 是未知的，因此构建关于 的显式是非常困难的！ （5） 个牛顿力学方程 + 个约束方程 方程（二阶微分方程） 思考方法： 约束增加，系统的自由度减少；若有 个约束则自由度为， 以描述自由度的方程出现 约束不再出现方程中 ---------《分析力学》 例： 目 的 建立一种新的形式，使约束力和非独立坐标不出现在方程中使写出的方程就是我们要直接求解的个方程 完成目标之过程 （1）在方程中不出现约束力-----达朗贝尔方程（d’Alembert Equation）,但非独立坐标依然出现 （2）既不出现约束力又不出现非独立坐标-----拉格朗日方程（Lagrange Equation） 非自由质点系的约束和广义坐标 1．虚位移： 矢量： 在 时间内的位移为 想象在某一时刻t 质点发生了一个约束许可的无限小的位移 这个位移不是由于质点的实际运动所产生的，它不需要时间，这种位移称为虚位移用表示 例：设 n 个质点组成的系统，受到一个约束（完整约束）约束方程为： 在时刻的矢径为 ， 时刻的矢径为 ，则 无论在时刻还是在时刻系统地坐标必须满足上述约束方程 虚位移是设想上述的位置作了一个微小的位移， 由 到达但位移后必须满足 这个设想的位移不经历时间，因此称为虚位移 性质：（1）虚位移无限小，具有极限的特点 （2）只是想象中可能发生的，不是由质点的实际运动产生的 （3）它只决定于质点在时刻的位置和加在它上面的约束 （4）由于只考虑到一个时刻，时间没有改变因此 （5）实际位移只有一个，但虚位移可以不止一个 实位移与虚位移的比较 虚位移 实位移 共同点 满足约束的限制条件 满足约束的限制条件 不同点 与质点或质点系的实际运动无关，只是一种几何概念，即从几何上说明位移的可能性，可能有多个或无穷多个。 与时间过程、作用力以及质点或质点系运动的初始条件等均无关 是质点或质点系由于实际运动而产生的位移，因而在任何确定的时间内只有一个。 是在一段时间内所完成的，与作用在质点或质点系上的力有关，与运动的初始条件有关 表示方法 变分符号 微分符号 相互关系 在稳定约束的条件下，实际位移是虚位移中的一个 在非稳定约束条件下，由于约束在一段时间内也发生了变化，因此，实位移不再是虚位移中的一个 2．约束的概念和分类： 约束：限制力学体系中各点运动的条件，其方程成为约束方程用表示 约束的分类： 稳定约束和非稳定约束： 稳定约束：约束方程中不显含时间即 非稳定约束：约束方程中显含时间即 例如： （2）．不可解约束和可解约束 a.不可解约束：质点始终不能脱离的约束，即： and 例如：刚体棒的一端固定，另一端连接一个质点，约束方程： b.可解约束：虽然质点被限制在某一个平面上，但是在某一个方向上可以脱离，即 即可以在的曲面上运动，也可以在的方向上运动 例如：一个质点被一条长为一段固定柔软的绳连接，约束方程为 特点：不可解约束用等式表示，可解约束用不等式表示 （3）．几何约束和运动约束： a. 几何约束：完整约束---只限制空间位置的约束，即约束方程只是坐标和时间的函数 and b. 运动约束：微分约束----除限制坐标外还要限制速度，即约束方程即是坐标的函数又是速度的函数 （4）．不完整约束： 运动约束中，约束方程除含有坐标外还含有坐标对时间的