理论力学课后答案.doc

2-1 解：当摩擦系数足够大时，平台AB 相对地面无滑动，此时摩擦力 取整体为研究对象，受力如图， 系统的动量： 将其在轴上投影可得： 根据动量定理有： 即：当摩擦系数时，平台AB的加速度为零。 当摩擦系数时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为： 将上式在轴投影有： 根据动量定理有： 由此解得平台的加速度为：（方向向左） 2-2 取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为： 将上式在x轴投影： 根据动量定理有： 系统的运动微分方程为： 2－4 取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为，提起部分的速度为，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为，方向向下，大小为（如图a所示）。 (b) 根据变质量质点动力学方程有： 将上式在y轴上投影有： 由于，所以由上式可求得：。 再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即： 3－5 将船视为变质量质点，取其为研究对象， 受力如图。根据变质量质点动力学方程有： 船的质量为：，水的阻力为 将其代入上式可得： 将上式在x轴投影：。应用分离变量法可求得 由初始条件确定积分常数，并代入上式可得： 2-8 图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转轴的转动惯量为，质量为的质点沿半径为的圆周运动，其相对方板的速度大小为（常量）。圆盘中心到转轴的距离为。质点在方板上的位置由确定。初始时，，方板的角速度为零，求方板的角速度与角的关系。 图a 图 b 解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。 设方板对转轴的动量矩为，其角速度为，于是有 设质点M对转轴的动量矩为，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度。它对转轴的动量矩为 其中： 系统对z轴的动量矩为。初始时，，此时系统对z轴的动量矩为 当系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为 由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有，因此可得： 由上式可计算出方板的角速度为 2－11 取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为，则系统对O轴的动量矩为： 根据动量矩定理有： 整理上式可得： 由运动学关系可知：，因此有：。上式可表示成： 令，上述微分方程可表示成：，该方程的通解为： 根据初始条件：可以确定积分常数，于是方程的解为： 系统的动量在x轴上的投影为： 系统的动量在y轴上的投影为： 根据动量定理： 由上式解得：， 2－14 取整体为研究对象，系统的动能为： 其中：分别是AB杆的速度和楔块C的速度。 若是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据 复合运动速度合成定理可知：， 因此系统的动能可表示为：，系统在能够过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：，系统的动力学方程可表示成： 由上式解得：， 2－17 质量为的均质物块上有一半径为的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动到B处时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。 图A 图B 解：取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为，物块的速度为，则系统的动能为 设为势能零点，则系统的势能为 根据机械能守恒定理和初始条件有，即 系统水平方向的动量为： 根据系统水平动量守恒和初始条件有 由此求出，将这个结果代入上面的机械能守恒式,且最后求得： 下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为，物块的加速度为，对于小球有动力学方程 （a） 图C