生活中的优化问题举例.doc

3.4生活中的优化问题举例 温故知新 1. 在区间上的最大值是（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】，令可得＝0或2（2舍去），当－1((0时，(0，当0((1时，(0，所以当＝0时，（）取得最大值为2. 2.设M，m分别是函数在上的最大值和最小值，若，则 A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定 【答案】A 【解析】因为，所以为常数函数，故. 互动课堂 知 识 构 建 知识点一 利用导数解决生活中的实际问题 1.在生产实践及科学实验中，常遇到质量最好、用料最省、效益最高、成本最低、利润最大、投入最小等问题，这些问题通常称为优化问题. 2. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤： （1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系； （2）求函数的导数，解方程； （3）比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值. 【疑难点拨】 1.在求实际问题的最大值、最小值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去，在写函数的解析式时要注明函数的定义域； 2.在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值； 3.利用导数解决优化问题的基本思路： 要 点 探 究 类型一 关于面积、体积的最值问题 例1如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为． （I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域； （II）求面积的最大值． 【思路】根据题意建立坐标系，确定梯形的高，得到面积表达式，然后再借助于导数求其最值. 【解析】（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为． 点的纵坐标满足方程， 解得 　， 其定义域为． （II）记， 则． 令，得． 因为当时，；当时，，所以是的最大值． 因此，当时，也取得最大值，最大值为． 即梯形面积的最大值为． 【点评】在求有关面积、体积最大值问题时，应先从文字信息中找出相关量（如边长、半径等），列出表达式，进而利用导数求解. 类型二 用料最省问题 例2（2009?湖南卷）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元. （Ⅰ）试写出关于的函数关系式； （Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？ 【思路】 弄懂题中所涉及问题中的余下工程费用的组成由桥墩和桥面组成，将桥墩与桥面的费用分别表示出即可. 【解析】 （Ⅰ）设需要新建个桥墩，, 所以 =. （Ⅱ） 由（Ⅰ）知， 令，得，所以=64, 当064时0， 在区间（0，64）内为减函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，0. 在区间（64，640）内为增函数， 所以在=64处取得最小值，此时， 故需新建9个桥墩才能使最小. 【点评】解决实际优化问题时，要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示的同时，还要确定关系式中自变量的定义区间. 类型三 利润最大问题 例3（2009?汉沽一中月考文） 某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）. (Ⅰ)写出与的函数关系式； (Ⅱ)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 【思路】收入减去成本可得出利润再用导数求最大利润．的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值. 当堂体验 1.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设高hcm,底半径为rcm,+=400.又体积V=h， 则V=（400-）h，令=0，得唯一极值点h=. 2.进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出。已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，所获得利润最大时售价应为