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用判别式法求函数值域的问题分析
用判别式法求函数值域的问题分析
利用一元二次方程根的判别式求某些函数的值域,由于解题过程中常用到变形,往往导致错误.因此,许多师生认为该种方法不可靠而回避它,或者只有当函数定义域为R时才使用该方法.那么,到底是什么原因导致错误?解题过程中应注意什么?下面就常见的两类问题作一分析.
第一类问题:如果函数隐含于方程中,因方程有实数根,通过求出的范围(设为集合M),若存在,使,为什么有时要从M中除去,而有时不要?
例1:已知函数满足方程,求函数的值域.
解:原方程可变为,∵,由解得.但当时,方程(1)不成立,说明不是函数的值,必须除去.因此函数的值域应为.
例2:已知函数满足方程,求函数的值域.
解:原方程可变为,∵,由解得.当时,说明是函数的值,因此函数的值域为.
结论一:若函数隐含于方程中,此时可把方程(2)看作的二次方程.因方程(2)有实根,所以其判别式,解不等式(3)所得到的的范围(用集合M表示)有可能是函数的值域.但M是否为函数的值域还应分以下两种情况讨论:
1.若对于任意的,有,由一元二次方程根的判别式可知,方程(2)有实根与不等式(3)是互为充要的条件,所以的值域为M.
2.若存在,使,则方程(2)为一次方程,这时又可分为两种情况讨论:①若,方程有解,所以函数的值域为M.②若且时,方程为恒等式,显然有解,所以函数的值域为M.当且时,方程无解,这说明不是函数的值,因此函数的值域应是M除去之后得到的集合.
第二类问题:当函数以分式形式给出时,常见问题的特征及解决问题的方法.
问题一:若函数以分式形式给出,是否只有当定义域为R时才可用判别式法求值域?
例3:求函数的值域.
解:两边乘以得,当时分母虽然为零,但分子,显然不是方程(4)的解,因此与方程(4)是等价的,以下解法仿照例2.
例4: 求函数的值域.
解:两边乘以得,当时分母虽然为零,但分子,显然不是方程(5)的解,因此与方程(5)是等价的.
∵,由解得或.∴函数的值域为.
分析:类似于例3、例4的问题,虽然函数的定义域不为R,但去分母前后两个方程是等价的,故仍可用判别式法求函数的值域.
问题二:若函数以分式形式给出,当分子、分母有公因式时,应注意什么?
例5:求函数的值域.
解:,∵由函数的定义域知,∴
由函数(6)易知 ,因为,所以把代入(6)所求得的的值必须除去.所以函数的值域应该为.
例6:
解:,由(7)易知,但因为,所以把代入(7)所求得的的值必须除去.所以函数的值域应该为.
分析:类似于例5、例6的问题,函数以分式形式给出,分子分母有公因式。由于用判别式法相对比较繁琐,一般可先约去公因式,再求化简后函数的值域。因变形前后函数的定义域不同,从而导致了函数值域的不同,所以在求值域时一定要考虑定义域.
结论二:若函数是以分式形式给出的,设,其中,,把(8)变形为,即,整理得,可分以下四种情况讨论:
1.若对于任意的实数,恒有时,则方程(8)与方程(9)等价,可归结为第一类问题讨论.
2.若存在实数,使得,而,显然不可能是方程(9)的解,所以方程(8)与方程(9)是等价的,因此也可归结为第一类问题讨论.
3.若存在实数,满足方程(9),且,由(9)可知必有,则是和的公共解,因此有,,由(8)可得,设集合N为函数的值域.由于时函数(9)无意义,因此函数的值域应在函数的值域N中除去.
4.若存在两个实数,满足方程(9),且,由(9)可知必有,也就是说和有两个公共解和,所以有,,其中和为不等于零的常数.约去(8)中分子分母的公因式得,则函数的值域为.例如函数的值域为.
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