用向量解决立体几何问题的探究.doc

用向量解决立体几何问题的探究 立体几何是高中数学的一个重要内容，从平面几何到立体几何是一道难度较高的台阶，立体几何成了中学生进入高中数学学习的又一道障碍，也是学生对数学学习产生分化的一个分水岭，学生们往往对立体几何的学习倍感畏惧。究其原因，不外乎沿袭平面几何的思维，缺乏空间想象力，造成思维受阻。因此，培养学生空间想象力，突破空间思维上的障碍，是学好立体几何的关键。用传统的方法去解决一直是困绕许多同学的难题，如何去找、作、证、求，让许多同学有时觉得无从下手，有一种有力使不出的感觉。那么有什么方法能够解决这一困绕老师和学生的难题呢？新教材“向量”这一章节的设置，向量在立体几何的引进及应用就解决了传统方法中所存在的诸多弊端，为我们解决立体几何的有关问题提供了强有力的工具。下就这个问题作一些说明，仅供大家参考，不当之处尽请批评指正。 一、解决有关平行问题的方法： 1：线线平行 a=λb 2：线面平行 a·N（平面的法向量）=0 3：面面平行 N1=λN2（N1、N2分别是两个平面的法向量） 传统的方法来处理，往往需要找、作、证，但有些学生找不到，作不出，证不出来，拿到这类问题就发怵，心理紧张，这是难点之一；定义、定理及有关公理的使用和说理，往往学生说不清，说不明甚至张冠李戴或遗忘，造成解题的失分，这是难点之二。学生由此而丧失了对立体几何解题的信心和勇气。 向量方法的引入和使用使上述烦琐的证明及说理简单化，这就是把立体几何问题代数化，公式化，使学生有了新鲜感，从而激发了学生的学习立体几何的兴趣和积极性。“兴趣是最好的老师”，其所带来的结果就可想而知。 二、解决有关垂直问题的方法： 1：线线垂直 a·b=0 2：线面垂直 a·l1=0 a·l2=0（其中l1、 l2为平面内两条相交直线） 3：面面垂直 N1·N2=0 （N1、N2分别是两个平面的法向量） 例题1： 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是BC、CD上的动点，且︱PQ︱=，建立如图所示的坐标系。 （Ⅰ）确定P，Q的位置，使得B1Q⊥D1P （Ⅱ）当B1Q⊥D1P时，求二面角C1—PQ—A的大小 分析：本题主要考查空间直角 坐标系的概念，空间向量的 坐标表示以及两个向量夹角 的计算方法，考查运用空间 向量研究空间图形的数学思 想方法。 分析：（1）建立空间直角坐标系如图 （2），写出相关点的坐标。 （3）设出P、Q两点的坐标， 由B1Q⊥D1P使用相关向量垂直的公式，列出关系式， 求出未知量即可确立P、Q两点的位置。 （4）在第一问的基础上求第二问比较容易些，用向量求二面角的大小，主要注意二面角是钝角还是锐角。 由上面的分析可知，解决问题关键是学生有“章”可寻，有“法”可依。所学的知识有了可发挥的空间，自然也就有了解题信心和兴趣，下面的问题也就不言而喻了。 三、解决有关距离问题的方法 1：点、线距离 a 、l d﹦ 2：点、面距离 a 、N（平面法向量） d﹦ 3：异面直线的距离 4：平行的线、线，线、面，面、面转化为1、2这两个方面去解决。 立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，平面问题代数化。这样就解决了传统方法方法中说理和证明说不清的问题，同时也解决了运算烦琐及易出错的问题。 例题2：下例为2003届数学高考题 如图，在直角三棱住ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G （Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A1到平面AED的距离。 分析：（1）建立空间直角坐标系 （如图（2））标出相应点的坐标； （2）点E在平面ABD上的 射影是ABD的重心G，则EG垂直 平面ABD，则EG所对应的向量即 为平面ABD的一个法向量，这样只 要求出向量A1B与向量EG所成的角，即可求出A1B与平面ABD所成角的大小。 （3）要求点A1到平面AED的距离，只要先求出平面AED的法向量N，然后求出向量A1A在向量N上的射影长即可。 四、解决有关角的问题的方法 一些立体几何问题，不通过使用模型是很难作出判断的。如：“一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，这两个二面角的大小关系是什么？”此题仅靠空间想象很难得出结果，作图呢又较难，且作出的图形是不会运动的（模型是可以运动的），要作出各种情况下的图形既费时图形也难画，另外学生往往还会依据平面几何中一个类似的结论而去习惯性思维，得出“相等或互补”的错误结果，其实此题只需用